Principio de los trabajos virtuales

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Principio de los trabajos virtuales

El principio de los trabajos virtuales es un método utilizado en resistencia de materiales para el cálculo de estructuras hiperestáticas. El principio de los trabajos virtuales puede derivarse del Principio de d'Alembert, que a su vez puede obtenerse de la mecánica newtoniana o más generalmente del Principio de mínima acción.

Formulación

Dado un sólido deformable impedido hacer movimientos de sólido rígido, es decir, con un número de grados de libertad no positivo, el principio de los trabajos virtuales establece que si inventamos un campo de desplazamientos $\mathbf {u} (\mathbf {x} )$ compatible con los enlaces existentes, llamado campo de desplazamientos virtual, que impiden el movimiento de sólido rígido se cumplirá que el trabajo virtual externo y el trabajo virtual interno serán iguales,

$W_{e}=\sum _{i=1}^{n}F_{i}\delta _{i}=W_{i}=\int _{V}\left(\sum _{i,j}\sigma _{ij}\varepsilon _{ij}\right)dV$

Donde las deformaciones y tensiones en la ecuación anterior deben calcularse a partir del campo de desplazamientos virtual:

(1) ${\begin{cases}\varepsilon _{ij}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\cfrac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\right)\\\sigma _{ij}=f(\varepsilon _{kl})\end{cases}}$

Aplicación a vigas rectas

La fórmula anterior se simplifica substancialmente si se aplica al caso de una viga recta, ya que en ella los trabajos interno y externo vienen dados por:

${\begin{cases}W_{e}=\sum _{i=1}^{n}F_{i}\delta _{i}\\W_{i}=\int _{L}\left(N_{x}\varepsilon _{x}+M_{z}\chi _{z}+M_{y}\chi _{y}+T_{y}\gamma _{xy}+T_{z}\gamma _{xz}+M_{T}\theta _{x}\right)ds\end{cases}}$

Donde:

$T_{y},T_{z}\;$, son los esfuerzos cortantes producidos por el campo de desplazamientos.

$M_{T}\;$, es el momento torsor producido por el campo de desplazamientos.

$M_{y},M_{z}\;$, son los momentos flectores producidos por el campo de desplazamientos.

Y los desplazamientos, en el caso de una viga que flecta sólo en el plano XY, pueden ser calculados a partir de los desplazamientos horizontal $u(s)$ y vertical $v(s)$ a lo largo de la viga:

$\varepsilon _{x}={\frac {du}{ds}}\qquad \gamma _{xy}={\frac {dv}{ds}}\qquad \chi _{z}={\frac {d^{2}v}{ds^{2}}}$

La igualdad (1) puede aplicarse para el cálculo de reacciones hiperestáticas, para ello basta elegir un desplazamiento virtual adecuado.