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Coordenadas esféricas

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Spherical coordinate elements.svg

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el Ángulo polar o Colatitud θ y el Azimuth φ.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 Radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

Convenciones utilizadas

Convención norteamericana

Hablando en términos de coordenadas cartesianas, la convención usada por los matemáticos de Estados Unidos es:

  • P (Radio): es la distancia entre el punto P y el origen.
  • φ (colatitud o ángulo polar ) de 0º a 180º es el ángulo entre el eje z y la línea que une el origen y el punto P, y
  • θ (acimut o longitud) de 0º a 360º es el ángulo entre el eje X positivo y la línea que une el origen con la proyección del punto P en el plano XY.

Convención no-norteamericana

Sin embargo, la mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos intercambian los símbolos θ y φ, siendo:

  • θ la colatitud
  • φ el acimut.

Esta es la convención que se sigue en este artículo. En el sistema internacional, los rangos de variación de las tres coordenadas son:

 0 \leq r <\infty\qquad 0\leq \theta\leq \pi\qquad 0\leq \varphi< 2\pi

La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de r llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, r; vuelve a aumentar, pero θ pasa a valer π-θ y φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cartesianas

Sobre los conjuntos abiertos:

U = \{(r,\theta,\varphi) | r>0, 0< \theta < \pi, 0\leq \varphi <2\pi\} \qquad \mbox{y} \qquad V = \{(x,y,z) | x^2+y^2+z^2>0 \}

Existe una correspondencia unívoca F:V\to Uentre las coordenadas cartesianas y las esféricas, definidas por las relaciones:

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong><code>texvc</code></strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): r = \sqrt{x^2 + y^2+z^2}\qquad \theta= \begin{cases} \arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right) & z>0 \\ \frac{\pi}{2} & z = 0 \\ \pi+\arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right) & z<0 \end{cases} \qquad \varphi=\begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x>0\\ \frac{\pi}{2}\mbox{sgn}(y) & x = 0\\ \pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x<0\end{cases}

Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje z\,, donde x^2 + y^2 = 0, en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún punto (x,\ y,\ z) tal que x = 0\;.

La función inversa F^{-1} entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las relaciones inversas:

 x = r\,{\rm sen}\,\theta\,\cos\varphi \qquad y = r\,{\rm sen}\,\theta\,{\rm sen}\,\varphi\qquad z = r \,\cos\theta

Coordenadas esféricas y ejes cartesianos relacionados.

Relación con las coordenadas cilíndricas

Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones


r = \sqrt{\rho^2+z^2}\qquad \theta=\arctan\left(\frac{\rho}{z}\right)\qquad \varphi=\varphi

y sus inversas


\rho = r\,{\rm sen}\,\theta \qquad \varphi = \varphi\qquad z = 
r \,\cos\theta

Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son:

  • Líneas coordenadas r: Semirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas.
  • Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos)
  • Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).
Lineas coordenadas esfericas.png

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

  • Superficies r=cte.: Esferas con centro en el origen de coordenadas.
  • Superficies θ=cte.: Conos rectos con vértice en el origen.
  • Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong><code>texvc</code></strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \hat{r} = {\rm sen}\theta\,\cos\varphi\,\hat{x} + {\rm sen}\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{y} + \cos\theta \hat{z}
No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong><code>texvc</code></strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \hat{\theta} = \cos\theta\,\cos\varphi\,\hat{x} + \cos\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{y} - {\rm sen}\theta \hat{z}
No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong><code>texvc</code></strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \hat{\varphi} = -{\rm sen}\varphi\,\hat{x} + \cos\,\varphi\,\hat{y}

e inversamente

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong><code>texvc</code></strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \hat{x} = {\rm sen}\theta\,\cos\varphi\,\hat{r} + \cos\theta\,\cos\varphi\,\hat{\theta} - {\rm sen}\,\varphi\,\hat{\varphi}
No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong><code>texvc</code></strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \hat{y} = {\rm sen}\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{r} + \cos\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{\theta}+\cos\,\varphi\,\hat{\varphi}
No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong><code>texvc</code></strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \hat{z} = \cos\theta\,\hat{r}- {\rm sen}\theta\,\hat{\theta}


En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala


h_r = 1 \qquad h_\theta = r \qquad h_\varphi = r\,{\rm sen}\theta

Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es


\vec r = r\,\hat{r}

Nótese que no aparecen término en \hat{\varphi} o \hat{\theta}. La dependencia en estas coordenadas está oculta en el vector \hat{r}.

Diferenciales de línea, superficie y volumen

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por


d\vec r = h_r\,dr\,\hat{r}+h_\theta\,d\theta\,\hat{\theta} +h_\varphi\,d\varphi\,\hat{\varphi}
=dr\,\hat{r}+r\,d\theta\,\hat{\theta}+r\,{\rm sen}\,\theta\,d\varphi\,\hat{\varphi}

Diferenciales de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q_3={\rm cte.} el resultado es


d\vec S_{q_3={\rm cte}} = h_1\,h_2\,dq_1\,dq_2\,\hat{q}_3

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son

  • r=cte: d\vec S_{r={\rm cte}} = r^2\,{\rm sen}\theta\,d\theta\,d\varphi\,\hat{r}
  • θ=cte: d\vec S_{\theta={\rm cte}} = r\,{\rm sen}\theta\,dr\,d\varphi\,\hat{\theta}
  • φ=cte: d\vec S_{\varphi={\rm cte}} = r\,dr\,d\theta\,\hat{\varphi}

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del Jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que


dV = h_1\,h_2\,h_3\,dq_1\,dq_2\,dq_3

que para coordenadas esféricas da


dV = r^2\,{\rm sen}\,\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi

Operadores diferenciales en coordenadas esféricas

El gradiente, la Divergencia, el Rotacional y el Laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esféricas. Estas son:

  • Gradiente

\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\hat{e}_r
+\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\hat{e}_\theta +
\frac{1}{r\,{\rm sen}\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{e}_\varphi
  • Divergencia

\nabla\cdot\vec F = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r}
+ \frac{1}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial({\rm sen}\,\theta\,F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial(F_\varphi)}{\partial \varphi}
  • Rotacional
No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong><code>texvc</code></strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \nabla\times \vec F=\frac{1}{r^2{\rm sen}\,\theta}\left| \begin{matrix} \hat{r} & r\,\hat{\theta} & r\,{\rm sen}\,\theta\,\hat{\varphi} \\ & & \\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \varphi} \\ & & \\ F_r & rF_\theta & r{\rm sen}\,\theta\,F_\varphi \end{matrix}\right|


  • Laplaciano

\nabla^2\phi = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial\phi}{\partial r}\right)
+ \frac{1}{r^2\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}
\left({\rm sen}\,\theta\frac{\partial\phi}{\partial \theta}\right)
 + \frac{1}{r^2{\rm sen}^2\theta}\frac{\partial^2\phi}{\partial \varphi^2}
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