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En [[geometría]], una '''curva''' en el n-espacio euclideano es un conjunto <math>\mathcal{C}\sub\mathbb{R}^n</math> que es la imagen de un intervalo '''Ι''' abierto bajo una aplicación diferenciable <math>\mathbf{x}\colon\Iota\to\mathbb{R}^n</math>, i.e: | En [[geometría]], una '''curva''' en el n-espacio euclideano es un conjunto <math>\mathcal{C}\sub\mathbb{R}^n</math> que es la imagen de un intervalo '''Ι''' abierto bajo una aplicación diferenciable <math>\mathbf{x}\colon\Iota\to\mathbb{R}^n</math>, i.e: | ||
:<math>\mathcal{C} = \{\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\colon t\in\Iota \}</math> | :<math>\mathcal{C} = \{\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\colon t\in\Iota \}</math> | ||
donde suele decirse que (<math>\mathbf{x}, \Iota</math>) es una representación paramétrica o | donde suele decirse que (<math>\mathbf{x}, \Iota</math>) es una representación paramétrica o Parametrización de <math>\mathcal{C}</math>. | ||
Con el objetivo de evitar auto intersecciones, puntos singulares y a los extremos, se define el concepto de curva simple como aquella curva tal que para todo punto '''p''' existe un Ω entorno abierto de '''p''' para el cual <math>\Omega\cap\mathcal{C}</math> admite una representación de clase <math>C^k</math> con <math>k\geq 1</math>. | Con el objetivo de evitar auto intersecciones, puntos singulares y a los extremos, se define el concepto de curva simple como aquella curva tal que para todo punto '''p''' existe un Ω entorno abierto de '''p''' para el cual <math>\Omega\cap\mathcal{C}</math> admite una representación de clase <math>C^k</math> con <math>k\geq 1</math>. | ||
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La geometría diferencial de curvas propone definiciones y métodos para analizar curvas simples en el Espacio euclídeo tridimensional o, más generalmente, curvas contenidas en variedades de Riemann. En particular, en el espacio euclídeo tridimensional <math>\mathbb{R}^3</math>, una curva de la que se conoce un punto de paso y el vector tangente en dicho punto, queda totalmente descrita por su [[Geometría diferencial de curvas#Curvatura y torsión|curvatura y torsión]]. Esta curvatura y torsión pueden estudiarse mediante el llamado [[Geometría diferencial de curvas#Vectores tangente, normal y binormal: Triedro de Frênet-Serret|triedro de Frênet-Serret]], que se explica a continuación. | |||
La geometría diferencial de curvas propone definiciones y métodos para analizar curvas simples en el | |||
=== Vectores tangente, normal y binormal === | === Vectores tangente, normal y binormal === | ||
[[Archivo:Frenet trihedron.svg|right | [[Archivo:Frenet trihedron.svg|right|350px|Vista esquemática del vector tangente (azul), vector normal (verde) y vector binormal (rojo) de una curva espiral.]] | ||
Dada una curva parametrizada '''r'''(''t'') según un parámetro cualquiera ''t'' se define el llamado vector tangente, binormal y normal como:</ | Dada una curva parametrizada '''r'''(''t'') según un parámetro cualquiera ''t'' se define el llamado vector tangente, binormal y normal como:<br /> | ||
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Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos configuran un sistema de referencia móvil conocido como [[Geometría diferencial de curvas#Vectores tangente, normal y binormal: Triedro de Frênet-Serret|triedro de Frênet-Serret]]. Es interesante que para una | Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos configuran un sistema de referencia móvil conocido como [[Geometría diferencial de curvas#Vectores tangente, normal y binormal: Triedro de Frênet-Serret|triedro de Frênet-Serret]]. Es interesante que para una partícula física desplazándose en el espacio, el vector tangente es paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal da el cambio dirección por unidad de tiempo de la velocidad o [[aceleración#Componentes intrínsecas de la aceleración: aceleraciones tangencial y normal|aceleración normal]]. | ||
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Revisión actual - 11:29 31 mar 2024
En matemáticas, el concepto de curva intenta capturar la idea intuitiva de línea continua, de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. La recta sería el caso límite de una curva de radio infinito.
Definiciones
En geometría, una curva en el n-espacio euclideano es un conjunto que es la imagen de un intervalo Ι abierto bajo una aplicación diferenciable , i.e:
donde suele decirse que () es una representación paramétrica o Parametrización de .
Con el objetivo de evitar auto intersecciones, puntos singulares y a los extremos, se define el concepto de curva simple como aquella curva tal que para todo punto p existe un Ω entorno abierto de p para el cual admite una representación de clase con .
El diccionario de la Real Academia Española de la Lengua la define en su página web, de la siguiente manera: 1. f. Geom. La que no es recta en ninguna de sus porciones.
Geometría diferencial de curvas en
La geometría diferencial de curvas propone definiciones y métodos para analizar curvas simples en el Espacio euclídeo tridimensional o, más generalmente, curvas contenidas en variedades de Riemann. En particular, en el espacio euclídeo tridimensional , una curva de la que se conoce un punto de paso y el vector tangente en dicho punto, queda totalmente descrita por su curvatura y torsión. Esta curvatura y torsión pueden estudiarse mediante el llamado triedro de Frênet-Serret, que se explica a continuación.
Vectores tangente, normal y binormal
Dada una curva parametrizada r(t) según un parámetro cualquiera t se define el llamado vector tangente, binormal y normal como:
Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos configuran un sistema de referencia móvil conocido como triedro de Frênet-Serret. Es interesante que para una partícula física desplazándose en el espacio, el vector tangente es paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal da el cambio dirección por unidad de tiempo de la velocidad o aceleración normal.
Referencias
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