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Diferencia entre revisiones de «Coordenadas esféricas»
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El sistema de '''coordenadas esféricas''' se basa en la misma idea que las [[coordenadas polares]] y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. | El sistema de '''coordenadas esféricas''' se basa en la misma idea que las [[coordenadas polares]] y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. | ||
En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el | En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio <math>r</math>, el Ángulo polar o Colatitud θ y el Azimuth φ. | ||
Algunos autores utilizan la [[latitud]], en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 | Algunos autores utilizan la [[latitud]], en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 Radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π). | ||
Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado. | Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado. | ||
== Convenciones utilizadas == | == Convenciones utilizadas == | ||
=== Convención norteamericana === | === Convención norteamericana === | ||
Hablando en términos de [[coordenadas cartesianas]], la convención usada por los matemáticos de Estados Unidos es: | |||
Hablando en términos de [[coordenadas cartesianas]], la convención usada por los matemáticos de | |||
*<math>P</math> (Radio): es la distancia entre el punto P y el origen. | *<math>P</math> (Radio): es la distancia entre el punto P y el origen. | ||
*φ (colatitud o ángulo polar ) de 0º a 180º es el ángulo entre el eje z y la línea que une el origen y el punto P, y | *φ (colatitud o ángulo polar ) de 0º a 180º es el ángulo entre el eje z y la línea que une el origen y el punto P, y | ||
| Línea 29: | Línea 27: | ||
== Relación con otros sistemas de coordenadas == | == Relación con otros sistemas de coordenadas == | ||
=== Relación con las coordenadas cartesianas === | === Relación con las coordenadas cartesianas === | ||
Sobre los | Sobre los conjuntos abiertos: | ||
{{Ecuación|<math>U = \{(r,\theta,\varphi) | r>0, 0< \theta < \pi, 0\leq \varphi <2\pi\} \qquad \mbox{y} \qquad V = \{(x,y,z) | x^2+y^2+z^2>0 \}</math>||left}} | {{Ecuación|<math>U = \{(r,\theta,\varphi) | r>0, 0< \theta < \pi, 0\leq \varphi <2\pi\} \qquad \mbox{y} \qquad V = \{(x,y,z) | x^2+y^2+z^2>0 \}</math>||left}} | ||
Existe una correspondencia unívoca <math>F:V\to U</math>entre las [[coordenadas cartesianas]] y las esféricas, definidas por las relaciones: | Existe una correspondencia unívoca <math>F:V\to U</math>entre las [[coordenadas cartesianas]] y las esféricas, definidas por las relaciones: | ||
{{Ecuación|<math> r = \sqrt{x^2 + y^2+z^2}\qquad | {{Ecuación|<math> r = \sqrt{x^2 + y^2+z^2}\qquad | ||
\theta= \begin{cases} \arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right) & z>0 \\ \frac{\pi}{2} & z = 0 \\ | \theta= \begin{cases} \arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right) & z>0 \\ \frac{\pi}{2} & z = 0 \\ \pi+\arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right) & z<0 \end{cases} \qquad \varphi=\begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x>0\\ \frac{\pi}{2}\mbox{sgn}(y) & x = 0\\ \pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x<0\end{cases} </math>||left}} | ||
Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje <math>z\,</math>, donde <math>x^2 + y^2 = 0</math>, en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún punto <math>(x,\ y,\ z)</math> tal que <math>x = 0\;</math>. | Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje <math>z\,</math>, donde <math>x^2 + y^2 = 0</math>, en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún punto <math>(x,\ y,\ z)</math> tal que <math>x = 0\;</math>. | ||
La función inversa <math>F^{-1}</math> entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las relaciones inversas: | La función inversa <math>F^{-1}</math> entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las relaciones inversas: | ||
{{Ecuación|<math> x = r\,{\rm sen}\,\theta\,\cos\varphi \qquad y = r\,{\rm sen}\,\theta\,{\rm sen}\,\varphi\qquad z = r \,\cos\theta </math>||left}} | {{Ecuación|<math> x = r\,{\rm sen}\,\theta\,\cos\varphi \qquad y = r\,{\rm sen}\,\theta\,{\rm sen}\,\varphi\qquad z = r \,\cos\theta </math>||left}} | ||
[[Archivo:Spherical with grid.svg|right|350px|Coordenadas esféricas y ejes cartesianos relacionados.]] | |||
[[Archivo:Spherical with grid.svg|right| | |||
=== Relación con las coordenadas cilíndricas === | === Relación con las coordenadas cilíndricas === | ||
| Línea 53: | Línea 50: | ||
== Líneas y superficies coordenadas == | == Líneas y superficies coordenadas == | ||
Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son: | Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son: | ||
* Líneas coordenadas <math>r</math>: Semirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas. | * Líneas coordenadas <math>r</math>: Semirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas. | ||
* Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales ( | * Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos) | ||
* Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales ([[paralelo | * Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales ([[paralelo]]s). | ||
:[[Archivo:Lineas_coordenadas_esfericas.png]] | :[[Archivo:Lineas_coordenadas_esfericas.png]] | ||
| Línea 71: | Línea 67: | ||
== Base coordenada == | == Base coordenada == | ||
A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones | |||
A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una | |||
:<math> | :<math> | ||
\hat{r} | \hat{r} = {\rm sen}\theta\,\cos\varphi\,\hat{x} + {\rm sen}\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{y} + | ||
\cos\theta \hat{z} | \cos\theta \hat{z} | ||
</math> | </math> | ||
:<math> | :<math> | ||
\hat{\theta} | \hat{\theta} = \cos\theta\,\cos\varphi\,\hat{x} + \cos\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{y} - | ||
{\rm sen}\theta \hat{z} | {\rm sen}\theta \hat{z} | ||
</math> | </math> | ||
:<math> | :<math> | ||
\hat{\varphi} | \hat{\varphi} = -{\rm sen}\varphi\,\hat{x} + \cos\,\varphi\,\hat{y} | ||
</math> | </math> | ||
e inversamente | e inversamente | ||
:<math> | :<math> | ||
\hat{x} | \hat{x} = {\rm sen}\theta\,\cos\varphi\,\hat{r} + \cos\theta\,\cos\varphi\,\hat{\theta} - {\rm sen}\,\varphi\,\hat{\varphi} | ||
</math> | </math> | ||
:<math> | :<math> | ||
\hat{y} | \hat{y} = {\rm sen}\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{r} + \cos\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{\theta}+\cos\,\varphi\,\hat{\varphi} | ||
</math> | </math> | ||
:<math> | :<math> | ||
\hat{z} | \hat{z} = \cos\theta\,\hat{r}- | ||
{\rm sen}\theta\,\hat{\theta} | {\rm sen}\theta\,\hat{\theta} | ||
</math> | </math> | ||
En el cálculo de esta base se obtienen los | En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala | ||
:<math> | :<math> | ||
| Línea 133: | Línea 128: | ||
=== Diferencial de volumen === | === Diferencial de volumen === | ||
El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del | El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del Jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que | ||
:<math> | :<math> | ||
dV = h_1\,h_2\,h_3\,dq_1\,dq_2\,dq_3 | dV = h_1\,h_2\,h_3\,dq_1\,dq_2\,dq_3 | ||
| Línea 144: | Línea 139: | ||
== Operadores diferenciales en coordenadas esféricas == | == Operadores diferenciales en coordenadas esféricas == | ||
El | El gradiente, la Divergencia, el Rotacional y el Laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esféricas. Estas son: | ||
*Gradiente | *Gradiente | ||
| Línea 163: | Línea 158: | ||
\nabla\times \vec F=\frac{1}{r^2{\rm sen}\,\theta}\left| | \nabla\times \vec F=\frac{1}{r^2{\rm sen}\,\theta}\left| | ||
\begin{matrix} | \begin{matrix} | ||
\hat{r} & r\,\hat{\theta} & r\,{\rm sen}\,\theta\,\hat{\varphi} | \hat{r} & r\,\hat{\theta} & r\,{\rm sen}\,\theta\,\hat{\varphi} \\ | ||
& & \\ | & & \\ | ||
\frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \varphi} | \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \varphi} | ||
| Línea 179: | Línea 174: | ||
</math> | </math> | ||
[[Carpeta:Sistemas de coordenadas]] | |||
{{Referencias}} | |||
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