Coordenadas esféricas

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio $r$, el Ángulo polar o Colatitud θ y el Azimuth φ.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 Radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

Convenciones utilizadas

Convención norteamericana

Hablando en términos de coordenadas cartesianas, la convención usada por los matemáticos de Estados Unidos es:

• $P$ (Radio): es la distancia entre el punto P y el origen.
• φ (colatitud o ángulo polar ) de 0º a 180º es el ángulo entre el eje z y la línea que une el origen y el punto P, y
• θ (acimut o longitud) de 0º a 360º es el ángulo entre el eje $X$ positivo y la línea que une el origen con la proyección del punto P en el plano XY.

Convención no-norteamericana

Sin embargo, la mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos intercambian los símbolos θ y φ, siendo:

• θ la colatitud
• φ el acimut.

Esta es la convención que se sigue en este artículo. En el sistema internacional, los rangos de variación de las tres coordenadas son:

$0\leq r<\infty \qquad 0\leq \theta \leq \pi \qquad 0\leq \varphi <2\pi$

La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de $r$ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, $r$; vuelve a aumentar, pero θ pasa a valer π-θ y φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cartesianas

Sobre los conjuntos abiertos:

$U=\{(r,\theta ,\varphi )|r>0,0<\theta <\pi ,0\leq \varphi <2\pi \}\qquad {\mbox{y}}\qquad V=\{(x,y,z)|x^{2}+y^{2}+z^{2}>0\}$

Existe una correspondencia unívoca $F:V\to U$entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, definidas por las relaciones:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\qquad \theta ={\begin{cases}\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)&z>0\\{\frac {\pi }{2}}&z=0\\\pi +\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)&z<0\end{cases}}\qquad \varphi ={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&x>0\\{\frac {\pi }{2}}{\mbox{sgn}}(y)&x=0\\\pi +\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&x<0\end{cases}}$

Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje $z\,$, donde $x^{2}+y^{2}=0$, en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún punto $(x,\ y,\ z)$ tal que $x=0\;$.

La función inversa $F^{-1}$ entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las relaciones inversas:

$x=r\,{\rm {sen}}\,\theta \,\cos \varphi \qquad y=r\,{\rm {sen}}\,\theta \,{\rm {sen}}\,\varphi \qquad z=r\,\cos \theta$

Relación con las coordenadas cilíndricas

Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones

$r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\qquad \theta =\arctan \left({\frac {\rho }{z}}\right)\qquad \varphi =\varphi$

y sus inversas

$\rho =r\,{\rm {sen}}\,\theta \qquad \varphi =\varphi \qquad z=r\,\cos \theta$

Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son:

• Líneas coordenadas $r$: Semirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas.
• Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos)
• Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

• Superficies $r$=cte.: Esferas con centro en el origen de coordenadas.
• Superficies θ=cte.: Conos rectos con vértice en el origen.
• Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

${\hat {r}}={\rm {sen}}\theta \,\cos \varphi \,{\hat {x}}+{\rm {sen}}\theta \,{\rm {sen}}\,\varphi \,{\hat {y}}+\cos \theta {\hat {z}}$

${\hat {\theta }}=\cos \theta \,\cos \varphi \,{\hat {x}}+\cos \theta \,{\rm {sen}}\,\varphi \,{\hat {y}}-{\rm {sen}}\theta {\hat {z}}$

${\hat {\varphi }}=-{\rm {sen}}\varphi \,{\hat {x}}+\cos \,\varphi \,{\hat {y}}$

e inversamente

${\hat {x}}={\rm {sen}}\theta \,\cos \varphi \,{\hat {r}}+\cos \theta \,\cos \varphi \,{\hat {\theta }}-{\rm {sen}}\,\varphi \,{\hat {\varphi }}$

${\hat {y}}={\rm {sen}}\theta \,{\rm {sen}}\,\varphi \,{\hat {r}}+\cos \theta \,{\rm {sen}}\,\varphi \,{\hat {\theta }}+\cos \,\varphi \,{\hat {\varphi }}$

${\hat {z}}=\cos \theta \,{\hat {r}}-{\rm {sen}}\theta \,{\hat {\theta }}$

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

$h_{r}=1\qquad h_{\theta }=r\qquad h_{\varphi }=r\,{\rm {sen}}\theta$

Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

${\vec {r}}=r\,{\hat {r}}$

Nótese que no aparecen término en ${\hat {\varphi }}$ o ${\hat {\theta }}$. La dependencia en estas coordenadas está oculta en el vector ${\hat {r}}$.

Diferenciales de línea, superficie y volumen

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por

$d{\vec {r}}=h_{r}\,dr\,{\hat {r}}+h_{\theta }\,d\theta \,{\hat {\theta }}+h_{\varphi }\,d\varphi \,{\hat {\varphi }}=dr\,{\hat {r}}+r\,d\theta \,{\hat {\theta }}+r\,{\rm {sen}}\,\theta \,d\varphi \,{\hat {\varphi }}$

Diferenciales de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, $q_{3}={\rm {cte.}}$ el resultado es

$d{\vec {S}}_{q_{3}={\rm {cte}}}=h_{1}\,h_{2}\,dq_{1}\,dq_{2}\,{\hat {q}}_{3}$

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son

• $r$=cte: $d{\vec {S}}_{r={\rm {cte}}}=r^{2}\,{\rm {sen}}\theta \,d\theta \,d\varphi \,{\hat {r}}$
• θ=cte: $d{\vec {S}}_{\theta ={\rm {cte}}}=r\,{\rm {sen}}\theta \,dr\,d\varphi \,{\hat {\theta }}$
• φ=cte: $d{\vec {S}}_{\varphi ={\rm {cte}}}=r\,dr\,d\theta \,{\hat {\varphi }}$

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del Jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

$dV=h_{1}\,h_{2}\,h_{3}\,dq_{1}\,dq_{2}\,dq_{3}$

que para coordenadas esféricas da

$dV=r^{2}\,{\rm {sen}}\,\theta \,dr\,d\theta \,d\varphi$

Operadores diferenciales en coordenadas esféricas

El gradiente, la Divergencia, el Rotacional y el Laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esféricas. Estas son:

• Gradiente

$\nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial r}}{\hat {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}{\hat {e}}_{\theta }+{\frac {1}{r\,{\rm {sen}}\theta }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {e}}_{\varphi }$

• Divergencia

$\nabla \cdot {\vec {F}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial (r^{2}F_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r\,{\rm {sen}}\,\theta }}{\frac {\partial ({\rm {sen}}\,\theta \,F_{\theta })}{\partial \theta }}+{\frac {1}{r\,{\rm {sen}}\,\theta }}{\frac {\partial (F_{\varphi })}{\partial \varphi }}$

• Rotacional

$\nabla \times {\vec {F}}={\frac {1}{r^{2}{\rm {sen}}\,\theta }}\left|{\begin{matrix}{\hat {r}}&r\,{\hat {\theta }}&r\,{\rm {sen}}\,\theta \,{\hat {\varphi }}\\&&\\{\frac {\partial }{\partial r}}&{\frac {\partial }{\partial \theta }}&{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\&&\\F_{r}&rF_{\theta }&r{\rm {sen}}\,\theta \,F_{\varphi }\end{matrix}}\right|$

• Laplaciano

$\nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \phi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\,{\rm {sen}}\,\theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\rm {sen}}\,\theta {\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}{\rm {sen}}^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \varphi ^{2}}}$

Referencias

Referencias e información de imágenes pulsando en ellas.