Altura de un triángulo

Sea ABC un triángulo cualquiera. Una altura del triángulo es una recta que pasa por un vértice y que es perpedicular al lado opuesto.

En la figura, las tres alturas son (AA"), (BB") y (CC"). Según el contexto, también se puede llamar alturas los segmentos [AA"], [BB"] y [CC"], y sus longitudes reciben la misma apelación.

El uso más común de la altura, como longitud, es el siguiente: el área de un tríangulo es

${\frac {h\cdot b}{2}}$

, donde b es una

base o sea la longitud de un lado, y h la altura correspondiente.

En la figura, el área es :

${\mathfrak {A}}={\frac {BC\cdot AA''}{2}}={\frac {AB\cdot CC''}{2}}={\frac {AC\cdot BB''}{2}}$

.

Está fórmula se demuestra dibujando un rectángulo cuya área es doble del área el triángulo, con la misma base y la misma altura.

Teorema:

Las tres alturas se cortan en un único punto, llamado ortocentro del triángulo (H en él gráfico).

Prueba:

Se trazan las rectas paralelas a los lados y que pasan por los vértices opuestos. Se obtienen así las rectas (A'B'), (B'C') y (A'C'). El triángulo A'B'C' es dos veces mayor que ABC, y los puntos A, B y C son los centros de sus lados. Esto se demuestra observando que ACBC', ABCB' y BACA' son por construcción paralelogramos. Las alturas de ABC aparecen entonces como las mediatrices de A'B'C', que son concurrentes en el centro del círculo circunscrito a A'B'C'.

Otra propiedad: H pertenece a la Recta de Euler