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Diferencia entre revisiones de «Coordenadas esféricas»
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| Línea 10: | Línea 10: | ||
== Convenciones utilizadas == | == Convenciones utilizadas == | ||
=== Convención norteamericana === | === Convención norteamericana === | ||
Hablando en términos de [[coordenadas cartesianas]], la convención usada por los matemáticos de Estados Unidos es: | |||
Hablando en términos de [[coordenadas cartesianas]], la convención usada por los matemáticos de | |||
*<math>P</math> (Radio): es la distancia entre el punto P y el origen. | *<math>P</math> (Radio): es la distancia entre el punto P y el origen. | ||
*φ (colatitud o ángulo polar ) de 0º a 180º es el ángulo entre el eje z y la línea que une el origen y el punto P, y | *φ (colatitud o ángulo polar ) de 0º a 180º es el ángulo entre el eje z y la línea que une el origen y el punto P, y | ||
| Línea 32: | Línea 31: | ||
Existe una correspondencia unívoca <math>F:V\to U</math>entre las [[coordenadas cartesianas]] y las esféricas, definidas por las relaciones: | Existe una correspondencia unívoca <math>F:V\to U</math>entre las [[coordenadas cartesianas]] y las esféricas, definidas por las relaciones: | ||
{{Ecuación|<math> r = \sqrt{x^2 + y^2+z^2}\qquad | {{Ecuación|<math> r = \sqrt{x^2 + y^2+z^2}\qquad | ||
\theta= \begin{cases} \arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right) & z>0 \\ \frac{\pi}{2} & z = 0 \\ | \theta= \begin{cases} \arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right) & z>0 \\ \frac{\pi}{2} & z = 0 \\ \pi+\arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right) & z<0 \end{cases} \qquad \varphi=\begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x>0\\ \frac{\pi}{2}\mbox{sgn}(y) & x = 0\\ \pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x<0\end{cases} </math>||left}} | ||
Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje <math>z\,</math>, donde <math>x^2 + y^2 = 0</math>, en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún punto <math>(x,\ y,\ z)</math> tal que <math>x = 0\;</math>. | Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje <math>z\,</math>, donde <math>x^2 + y^2 = 0</math>, en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún punto <math>(x,\ y,\ z)</math> tal que <math>x = 0\;</math>. | ||
La función inversa <math>F^{-1}</math> entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las relaciones inversas: | La función inversa <math>F^{-1}</math> entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las relaciones inversas: | ||
{{Ecuación|<math> x = r\,{\rm sen}\,\theta\,\cos\varphi \qquad y = r\,{\rm sen}\,\theta\,{\rm sen}\,\varphi\qquad z = r \,\cos\theta </math>||left}} | {{Ecuación|<math> x = r\,{\rm sen}\,\theta\,\cos\varphi \qquad y = r\,{\rm sen}\,\theta\,{\rm sen}\,\varphi\qquad z = r \,\cos\theta </math>||left}} | ||
[[Archivo:Spherical with grid.svg|right| | [[Archivo:Spherical with grid.svg|right|350px|Coordenadas esféricas y ejes cartesianos relacionados.]] | ||
=== Relación con las coordenadas cilíndricas === | === Relación con las coordenadas cilíndricas === | ||
| Línea 71: | Línea 70: | ||
:<math> | :<math> | ||
\hat{r} | \hat{r} = {\rm sen}\theta\,\cos\varphi\,\hat{x} + {\rm sen}\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{y} + | ||
\cos\theta \hat{z} | \cos\theta \hat{z} | ||
</math> | </math> | ||
:<math> | :<math> | ||
\hat{\theta} | \hat{\theta} = \cos\theta\,\cos\varphi\,\hat{x} + \cos\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{y} - | ||
{\rm sen}\theta \hat{z} | {\rm sen}\theta \hat{z} | ||
</math> | </math> | ||
:<math> | :<math> | ||
\hat{\varphi} | \hat{\varphi} = -{\rm sen}\varphi\,\hat{x} + \cos\,\varphi\,\hat{y} | ||
</math> | </math> | ||
e inversamente | e inversamente | ||
:<math> | :<math> | ||
\hat{x} | \hat{x} = {\rm sen}\theta\,\cos\varphi\,\hat{r} + \cos\theta\,\cos\varphi\,\hat{\theta} - {\rm sen}\,\varphi\,\hat{\varphi} | ||
</math> | </math> | ||
:<math> | :<math> | ||
\hat{y} | \hat{y} = {\rm sen}\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{r} + \cos\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{\theta}+\cos\,\varphi\,\hat{\varphi} | ||
</math> | </math> | ||
:<math> | :<math> | ||
\hat{z} | \hat{z} = \cos\theta\,\hat{r}- | ||
{\rm sen}\theta\,\hat{\theta} | {\rm sen}\theta\,\hat{\theta} | ||
</math> | </math> | ||
| Línea 159: | Línea 158: | ||
\nabla\times \vec F=\frac{1}{r^2{\rm sen}\,\theta}\left| | \nabla\times \vec F=\frac{1}{r^2{\rm sen}\,\theta}\left| | ||
\begin{matrix} | \begin{matrix} | ||
\hat{r} & r\,\hat{\theta} & r\,{\rm sen}\,\theta\,\hat{\varphi} | \hat{r} & r\,\hat{\theta} & r\,{\rm sen}\,\theta\,\hat{\varphi} \\ | ||
& & \\ | & & \\ | ||
\frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \varphi} | \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \varphi} | ||
| Línea 175: | Línea 174: | ||
</math> | </math> | ||
[[ | [[Carpeta:Sistemas de coordenadas]] | ||
{{Referencias}} | |||
{{W}} | {{W}} | ||