Proyección de Mercator

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Proyección de Mercator

Mapa de Mercator de 1569.

Comparación, en una proyección Mercator del Atlántico Norte, del rumbo loxodrómico (según puntos cardinales, línea recta en el mapa) frente al ortodrómico (según círculo máximo terrestre o distancia más corta, curva en el mapa)

Proyección de Mercator, proyección geográfica tipo cilíndrica, inventada por Gerardus Mercator en 1569. Es famosa en todo el mundo y es muy utilizada en la navegación por la facilidad de trazar rutas de Rumbo constante o loxodrómicas.

La proyección se basa en el modelo ideal que trata a la tierra como un Globo hinchable que se introduce en un cilindro y que empieza a inflarse ocupando el volumen del cilindro e imprimiendo el mapa en su interior. Este cilindro cortado longitudinalmente y ya desplegado sería el mapa con proyección de Mercator.

Esta proyección presenta una buena exactitud en su zona central, pero las zonas superior e inferior correspondientes a norte y Sur presentan grandes deformaciones. Los Mapas con esta proyección se utilizaron en la Época colonial con gran éxito. Su éxito se debe a la potencia de Europa de la época. Al ser Europa la potencia dominante que viajaba hacia el Nuevo mundo por la zona central, no se comprobó la deformación que sufrían estos mapas. Posteriormente en la época de las exploraciones de Scott por el polo se comprobó que en dichas latitudes el mapa era casi inútil.

Matemática de la proyección

Relación entre la posición vertical en el mapa (horizontal en el gráfico) y latitud (vertical en el gráfico).

Las siguientes ecuaciones determinan las coordenadas x e y de un punto en el mapa en proyección Mercator a partir de su latitud φ y longitud λ (siendo λ₀ la longitud central del mapa):

${\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\\y&=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\right)\\&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin(\phi )}{1-\sin(\phi )}}\right)\\&=\sinh ^{-1}\left(\tan(\phi )\right)\\&=\tanh ^{-1}\left(\sin(\phi )\right)\\&=\ln \left(\tan(\phi )+\sec(\phi )\right)\\\end{aligned}}$

Esta es la inversa de la Función Gudermanniana:

${\begin{aligned}\phi &=2\tan ^{-1}(e^{y})-{\frac {\pi }{2}}\\&=\tan ^{-1}(\sinh(y))\\\lambda &=x+\lambda _{0}\\\end{aligned}}$

La escala es proporcional a la secante de la latitud φ, haciéndose extremadamente grande cerca de los polos. En el polo mismo φ = 90° o -90°. Como se deduce de las fórmulas, el valor para y en los polos es +/- infinito.

Derivación de la proyección

Asumiendo la Tierra como esférica. (Es levemente achatada en los polos y otras leves deformaciones, pero para mapas de pequeña escala la diferencia es irrelevante. Para mayor precisión, interpone conformidad latitud.) Buscamos transformar de longitud-latitud (λ,φ) al sistema Cartesiano (x,y) que es "un cilindro tangente al ecuador" (i.e. x=λ) y conforme, tal que:

La proyección Mercator es una proyección cilíndrica.

${\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=\cos(\phi ){\frac {\partial y}{\partial \phi }}$

${\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=-\cos(\phi ){\frac {\partial x}{\partial \phi }}$

De x = λ tenemos

${\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=1$

${\frac {\partial x}{\partial \phi }}=0$

resultando

$1=\cos(\phi ){\frac {\partial y}{\partial \phi }}$

$0={\frac {\partial y}{\partial \lambda }}$

Dado que y es función sólo de φ con $y'=\sec \phi$ de la cual una Tabla de integrales nos da

$y=\ln(|\sec(\phi )+\tan(\phi )|)+C\,$.

Es conveniente cartografiar φ = 0 a y = 0, así toma C = 0.

Controversia

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Indicatriz de Tissot en proyección Mercator

Indicatriz de Tissot en proyección sinusoidal

Como en toda proyección cartográfica, cuando se intenta ajustar una superficie curva en una superficie plana, la forma del mapa es una distorsión de la verdadera configuración de la superficie terrestre. La proyección de Mercator va exagerando el tamaño y distorsionando las formas a medida que nos alejamos de la línea del ecuador. Por ejemplo:

• Groenlandia aparece aproximadamente del tamaño de África, cuando en realidad el área de África es aproximadamente 14 veces el de Groenlandia.

• Alaska aparece similar en tamaño a Brasil, cuando el área de Brasil es casi 5 veces el de Alaska.

Aunque la proyección de Mercator es todavía muy usada en navegación, los críticos argumentan que no es indicada para representar el mundo completo dada la distorsión de las áreas. El mismo Mercator usó la Proyección equivalente (iguales áreas) Proyección sinusoidal para mostrar la relación de áreas. Como resultado de estas críticas, los atlas modernos ya no usan la proyección de Mercator para mapamundis o áreas distantes al ecuador, prefiriendo otras proyecciones cilíndricas, o proyecciones equivalentes (equiáreas). La proyección de Mercator, sin embargo, es usada todavía para regiones cercanas al ecuador.

Arno Peters provocó controversia cuando propuso la proyección conocida como proyección de Gall-Peters, una leve modificación de la cilíndrica equivalente de Lambert, como la alternativa a la de Mercator. Una resolución de 1989 de siete grupos geográficos norteamericanos desecharon el uso de todos los mapamundis de coordenadas rectangulares (cilíndricas), incluyendo la Mercator y la Gall-Peters.

Google Maps y Virtual Earth 2d, actualmente usan la proyección de Mercator. A pesar de sus relativas distorsiones de escala, esta proyección es bastante indicada para un mapa interactivo en que se hacen desplazamientos y zooms en regiones pequeñas, donde las formas se distorsionan relativamente poco. (Google Satellite Maps, por otro lado, usó una Proyección plate carrée hasta 2005-07-22).

En los mapas en Google Maps la máxima latitud es +/- 85.0511287798066 grados, donde el valor en la proyección Mercator para y = PI.