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Para una sección circular o circular hueca el módulo de torsión coincide con el momento de inercia polar, es decir, coincide con la suma de los dos segundos momentos de área de la sección transversal: | Para una sección circular o circular hueca el módulo de torsión coincide con el momento de inercia polar, es decir, coincide con la suma de los dos segundos momentos de área de la sección transversal: | ||
{{Ecuación|<math>J = I_0 = I_y + I_z\;</math>||left}} | {{Ecuación|<math>J = I_0 = I_y + I_z\;</math>||left}} | ||
== Módulo de torsión para una sección rectangular == | == Módulo de torsión para una sección rectangular == | ||
Para una sección rectangular de dimensiones ''b'' y ''h'' (''b'' < ''h''), el módulo de torsión viene dado por la expresión:<ref>Timoshenko, S.P. y Godier J.N., ''Theory of elasticity'', McGraw-Hill, 1951.</ref> | Para una sección rectangular de dimensiones ''b'' y ''h'' (''b'' < ''h''), el módulo de torsión viene dado por la expresión:<ref>Timoshenko, S.P. y Godier J.N., ''Theory of elasticity'', McGraw-Hill, 1951.</ref> | ||
{{Ecuación|<math>J = \frac{1}{3}b^3h \left[ 1 - \frac{192b}{h\pi^5} \sum_{k=1,3,\ldots}^\infty \frac{1}{k^5}\mbox{tanh}\left(\frac{kh\pi}{2b}\right) \right]</math>||left}} | {{Ecuación|<math>J = \frac{1}{3}b^3h \left[ 1 - \frac{192b}{h\pi^5} \sum_{k=1,3,\ldots}^\infty \frac{1}{k^5}\mbox{tanh}\left(\frac{kh\pi}{2b}\right) \right]</math>||left}} | ||
== Módulo de torsión para una sección triangular == | == Módulo de torsión para una sección triangular == | ||
Para una sección triangular equilátera de altura ''h'' y lado ''L'', el módulo de torsión viene dado por la expresión:<ref>* Ortiz Berrocal, L., ''Elasticidad'', McGraw-Hill, 1998, ISBN 84-481-2046-9.</ref> | Para una sección triangular equilátera de altura ''h'' y lado ''L'', el módulo de torsión viene dado por la expresión:<ref>* Ortiz Berrocal, L., ''Elasticidad'', McGraw-Hill, 1998, ISBN 84-481-2046-9.</ref> | ||
| Línea 16: | Línea 14: | ||
Donde el momento de inercia polar viene dado por: | Donde el momento de inercia polar viene dado por: | ||
{{Ecuación|<math>I_0 = \frac{\sqrt{3}h^4}{54} = \frac{\sqrt{3}L^4}{96}</math>||left}} | {{Ecuación|<math>I_0 = \frac{\sqrt{3}h^4}{54} = \frac{\sqrt{3}L^4}{96}</math>||left}} | ||
== Módulo de torsión para una sección cualquiera == | == Módulo de torsión para una sección cualquiera == | ||
Determinar el módulo de torsión de una sección requiere conocer el alabeo unitario ω de la sección y la posición del [[centro de cortante]]. El cálculo del alabeo unitario o seccional, en general es un problema no elemental, resolver un problema de von Neumann sobre la sección para la que se busca el módulo de torsión. Una vez conocida la función de alabeo unitario, basta calcular : | Determinar el módulo de torsión de una sección requiere conocer el alabeo unitario ω de la sección y la posición del [[centro de cortante]]. El cálculo del alabeo unitario o seccional, en general es un problema no elemental, resolver un problema de von Neumann sobre la sección para la que se busca el módulo de torsión. Una vez conocida la función de alabeo unitario, basta calcular : | ||
| Línea 33: | Línea 30: | ||
* '''Piezas de perfil abierto''', en ellas las curvas integrales del campo de tensiones tangenciales, no encierran ninguna área. Los perfiles metálicos en H, en I, en U y L son ejemplos de este tipo de sección. | * '''Piezas de perfil abierto''', en ellas las curvas integrales del campo de tensiones tangenciales, no encierran ninguna área. Los perfiles metálicos en H, en I, en U y L son ejemplos de este tipo de sección. | ||
* '''Piezas de perfil cerrado simple''', Son secciones formadas por una curva cerrada simple, que por tanto encierra un área, y un cierto espesor constane sobre la curva. Los perfiles tubulares huecos de sección exterior cudrada, rectangular o circular son ejemplos de sección cerrada simple. | * '''Piezas de perfil cerrado simple''', Son secciones formadas por una curva cerrada simple, que por tanto encierra un área, y un cierto espesor constane sobre la curva. Los perfiles tubulares huecos de sección exterior cudrada, rectangular o circular son ejemplos de sección cerrada simple. | ||
* '''Piezas de perfil multicelular''', son secciones de pared delgada que no son | * '''Piezas de perfil multicelular''', son secciones de pared delgada que no son simplemente conexas al estar formadas por un cierto número de huecos yuxtapuestos. | ||
=== Sección de pared delgada abierta === | === Sección de pared delgada abierta === | ||
| Línea 45: | Línea 42: | ||
Si la sección está formada por una curva simple cerrada más algunas ramificaciones que no constituyen curvas cerradas, el módulo de torsión puede obtenerse sumando la contribución de la curva que encierra un área y las ramas: | Si la sección está formada por una curva simple cerrada más algunas ramificaciones que no constituyen curvas cerradas, el módulo de torsión puede obtenerse sumando la contribución de la curva que encierra un área y las ramas: | ||
{{Ecuación|<math>J = 4\frac{e_0A^2}{L_{\Gamma_0}} + \frac{1}{3}\sum_{i} e_j^3L_{\Gamma_j}</math>||left}} | {{Ecuación|<math>J = 4\frac{e_0A^2}{L_{\Gamma_0}} + \frac{1}{3}\sum_{i} e_j^3L_{\Gamma_j}</math>||left}} | ||
=== Sección cerrada compuesta de pared delgada === | === Sección cerrada compuesta de pared delgada === | ||
Este caso es más complicado que el anterior y la fórmula viene dada por una generalización de la fórmula de Bredt. Si la sección encierra como máximo un área ''A'', formada por ''n'' subáreas o paneles que encierran cada uno un área ''A<sub>i</sub>'' [siendo el caso obviamente que ''A'' = ''A''<sub>1</sub> + ... + ''A<sub>n</sub>''] y además existen ''m'' ramificaciones como en el caso antrior el módulo de torsión viene dado por: | Este caso es más complicado que el anterior y la fórmula viene dada por una generalización de la fórmula de Bredt. Si la sección encierra como máximo un área ''A'', formada por ''n'' subáreas o paneles que encierran cada uno un área ''A<sub>i</sub>'' [siendo el caso obviamente que ''A'' = ''A''<sub>1</sub> + ... + ''A<sub>n</sub>''] y además existen ''m'' ramificaciones como en el caso antrior el módulo de torsión viene dado por: | ||
| Línea 51: | Línea 47: | ||
Donde los coeficienes que aparecen en la fórmula anterior son los coeficientes de la matriz <math>\mathbf{B} = [b_{ij}] = [a_{ij}]^{-1}</math> siendo: | Donde los coeficienes que aparecen en la fórmula anterior son los coeficientes de la matriz <math>\mathbf{B} = [b_{ij}] = [a_{ij}]^{-1}</math> siendo: | ||
{{Ecuación|<math>a_{ii} = \int_{\part A_i} \frac{ds}{e_i} \qquad \qquad a_{ij} = -\int_{\part A_i \cap \part A_j} \frac{ds}{e_i}\ \quad(i \ne j)</math>||left}} | {{Ecuación|<math>a_{ii} = \int_{\part A_i} \frac{ds}{e_i} \qquad \qquad a_{ij} = -\int_{\part A_i \cap \part A_j} \frac{ds}{e_i}\ \quad(i \ne j)</math>||left}} | ||
== Fórmula de Saint-Venant para secciones macizas == | == Fórmula de Saint-Venant para secciones macizas == | ||
Para piezas de gran inercia torsional, la [[torsión mecánica|torsión]] es de tipo de Saint-Venant pura o dominante. Además debido a que el módulo de torsión debe ser independiente del sistema de ejes elegido, puede construirse como una función de los invariantes algebraicos que se pueden formar a partir del área y los | Para piezas de gran inercia torsional, la [[torsión mecánica|torsión]] es de tipo de Saint-Venant pura o dominante. Además debido a que el módulo de torsión debe ser independiente del sistema de ejes elegido, puede construirse como una función de los invariantes algebraicos que se pueden formar a partir del área y los momentos de área de la sección transversal de la pieza. En 1855 Saint-Venant propuso una fórmula que cumplía ese requerimiento y que da buenos resultados para la mayoría de secciones macizas: | ||
{{Ecuación|<math>J = \frac{A^4}{\kappa(I_y+I_z)}</math>||left}} | {{Ecuación|<math>J = \frac{A^4}{\kappa(I_y+I_z)}</math>||left}} | ||
Donde el valor de <math>\kappa</math> se toma frecuentemente entre 35 y 40, la única restricción que se impone normalmente al uso de esta fórmula es que la sección transversal sea convexa. | Donde el valor de <math>\kappa</math> se toma frecuentemente entre 35 y 40, la única restricción que se impone normalmente al uso de esta fórmula es que la sección transversal sea convexa. | ||
{{Referencias}} | |||
{{Ref| Monleón Cremades, S., ''Análisis de vigas, arcos, placas y láminas'', Ed. UPV, 1999, ISBN 84-7721-769-6.}} | |||
{{ | [[Carpeta:Resistencia de materiales|Torsion]] | ||
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