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Diferencia entre revisiones de «Número áureo»
clean up, replaced: Sistema Solar → Sistema Solar, abejas → Abejas, Leonhard Euler → Leonhard Euler, mística → Mística, nautilus → Nautilus (2), octaedro → Octaedro, sólidos platónicos → Sólidos platónicos
(→El número áureo en el Arte: clean up, replaced: Debussý → Debussý) |
(clean up, replaced: Sistema Solar → Sistema Solar, abejas → Abejas, Leonhard Euler → Leonhard Euler, mística → Mística, nautilus → Nautilus (2), octaedro → Octaedro, sólidos platónicos → Sólidos platónicos) |
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Se trata de un [[número]] [[número algebraico|algebraico]] que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc. | Se trata de un [[número]] [[número algebraico|algebraico]] que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc. | ||
Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia | Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia Mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de [[arquitectura]] y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología. | ||
== Definición == | == Definición == | ||
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Aquí a menudo se interpretó la palabra sección ('''τομή''') como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra ''sección'' no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los [[pitagóricos]], eran de particular importancia y la llave a la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los [[neoplatonismo|neoplatónicos]]. | Aquí a menudo se interpretó la palabra sección ('''τομή''') como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra ''sección'' no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los [[pitagóricos]], eran de particular importancia y la llave a la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los [[neoplatonismo|neoplatónicos]]. | ||
A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco | A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco Sólidos platónicos, construidos y estudiados por [[Teaetus]]. En particular, combinó la idea de [[Empédocles]] sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de [[Demócrito]], para Platón cada uno de los sólidos correspondía a uno de las partículas que conformaban cada uno de los elementos. Según Platón, la tierra estaba asociada al [[cubo]], el fuego al [[tetraedro]], el aire al Octaedro, el agua al [[icosaedro]], y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el [[dodecaedro]]. | ||
En [[1509]] el matemático y teólogo [[Luca Pacioli]] publica su libro ''De Divina Proportione'' (La Proporción Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Número áureo: | En [[1509]] el matemático y teólogo [[Luca Pacioli]] publica su libro ''De Divina Proportione'' (La Proporción Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Número áureo: | ||
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En [[1525]], Alberto Durero publica ''Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas'' donde describe cómo trazar con [[regla y compás]] la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”. | En [[1525]], Alberto Durero publica ''Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas'' donde describe cómo trazar con [[regla y compás]] la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”. | ||
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico del | El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico del Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos | ||
{{Cita|“''La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el Teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa''”|Johannes Kepler en ''Mysterium Cosmographicum'' (El Misterio Cósmico).}}. | {{Cita|“''La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el Teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa''”|Johannes Kepler en ''Mysterium Cosmographicum'' (El Misterio Cósmico).}}. | ||
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Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo aleman Johannes Kepler, sin embargo, pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simson. | Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo aleman Johannes Kepler, sin embargo, pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simson. | ||
A mediados del siglo XIX el matemático francés [[Jacques Phlipe Marie Binet]] redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por | A mediados del siglo XIX el matemático francés [[Jacques Phlipe Marie Binet]] redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, [[Abraham de Moivre]]. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo: | ||
:<math>F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left [ \left (\frac{1 +\sqrt{5}}{2} \right )^n - \left (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right )^n \right ]\quad=\frac{1}{\sqrt{5}} \left [ \left ( \phi \right )^n - \left (\frac{-1}{\phi} \right )^n \right ] \quad</math> | :<math>F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left [ \left (\frac{1 +\sqrt{5}}{2} \right )^n - \left (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right )^n \right ]\quad=\frac{1}{\sqrt{5}} \left [ \left ( \phi \right )^n - \left (\frac{-1}{\phi} \right )^n \right ] \quad</math> | ||
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== El número áureo en la Naturaleza == | == El número áureo en la Naturaleza == | ||
[[Archivo:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|200px|thumb|right|Concha de | [[Archivo:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|200px|thumb|right|Concha de Nautilus en [[espiral logarítmica]]]] | ||
En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea: | En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea: | ||
*No hay simetría pentagonal ni pentágonos en la materia inanimada. El pentágono surge únicamente en los seres vivos, ningún cristal, por ejemplo, tiene forma pentagonal. | *No hay simetría pentagonal ni pentágonos en la materia inanimada. El pentágono surge únicamente en los seres vivos, ningún cristal, por ejemplo, tiene forma pentagonal. | ||
*Leonardo de Pisa ([[Fibonacci]]), en su ''Libro de los ábacos'' (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos ''n'' meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la parición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteo recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático . El cociente de dos términos sucesivos de la [[Sucesión de Fibonacci]] tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda [[recurrente|sucesión recurrente]] de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.<ref name = "Vorobiov1974">{{Cite book|title = Números de Fibonacci|date = 1974|publisher = Editorial Mir, Moscú, rústica, 112 páginas|author = N. N. Vorobiov; traducción de Carlos vega}}</ref> | *Leonardo de Pisa ([[Fibonacci]]), en su ''Libro de los ábacos'' (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos ''n'' meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la parición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteo recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático . El cociente de dos términos sucesivos de la [[Sucesión de Fibonacci]] tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda [[recurrente|sucesión recurrente]] de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.<ref name = "Vorobiov1974">{{Cite book|title = Números de Fibonacci|date = 1974|publisher = Editorial Mir, Moscú, rústica, 112 páginas|author = N. N. Vorobiov; traducción de Carlos vega}}</ref> | ||
*La relación entre la cantidad de | *La relación entre la cantidad de Abejas macho y abejas hembra en un panal. | ||
*La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de [[Ludwig|Ley de Ludwig]]). | *La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de [[Ludwig|Ley de Ludwig]]). | ||
*La distribución de las hojas en un tallo. Ver: [[Sucesión de Fibonacci]]. | *La distribución de las hojas en un tallo. Ver: [[Sucesión de Fibonacci]]. | ||
| Línea 281: | Línea 281: | ||
*La distancia entre las espirales de una piña. | *La distancia entre las espirales de una piña. | ||
*La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier [[caracol]] (no sólo del | *La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier [[caracol]] (no sólo del Nautilus) Hay por lo menos tres espirales logarítmicas en las que se puede encontrar de alguna manera al número áureo. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento.<ref name = "Matila Ghyka1953">{{Cite book|title = Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes|date = 1953|publisher = Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo V: "Del Crecimiento Armonioso", páginas 118 a 144|author = [[Matila Ghyka]]}}</ref><ref name = "D'Arcy Thompson1917">{{Cite book|title = "On Growth and Form"|date = 1917|publisher = Cambridge University Press|author = [[D'Arcy Wentworth Thompson]]}} | ||
{{Cite book|title = "On Growth and Form"|date = 1992|publisher = Dover edition, 1116 páginas|author = D'Arcy Wentworth Thompson}} | {{Cite book|title = "On Growth and Form"|date = 1992|publisher = Dover edition, 1116 páginas|author = D'Arcy Wentworth Thompson}} | ||
{{Cite book|title = "Sobre el Crecimiento y la Forma|date = 1980|publisher = Editorial Hermann Blume, Madrid|author = D'Arcy Thompson}}Existen ediciones de unas 300 páginas, una reciente de Cambridge. | {{Cite book|title = "Sobre el Crecimiento y la Forma|date = 1980|publisher = Editorial Hermann Blume, Madrid|author = D'Arcy Thompson}}Existen ediciones de unas 300 páginas, una reciente de Cambridge. | ||