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[[Archivo:Image-Golden ratio line.png|200px | [[Archivo:Image-Golden ratio line.png|right|200px|Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total <font color="green">'''''a+b'''''</font> es al segmento más largo <font color="blue">'''''a'''''</font> como <font color="blue">'''''a'''''</font> es al segmento más corto <font color="red">'''''b'''''</font>.]] | ||
El '''número áureo''' o de oro (también llamado '''número dorado''', '''sección áurea''', '''razón áurea''', '''razón dorada''', '''media áurea''', '''proporción áurea''' y '''divina proporción''') representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el Número irracional: | El '''número áureo''' o de oro (también llamado '''número dorado''', '''sección áurea''', '''razón áurea''', '''razón dorada''', '''media áurea''', '''proporción áurea''' y '''divina proporción''') representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el Número irracional: | ||
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A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco Sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teaetus. En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de Demócrito, para Platón cada uno de los sólidos correspondía a uno de las partículas que conformaban cada uno de los elementos. Según Platón, la tierra estaba asociada al [[cubo]], el fuego al Tetraedro, el aire al Octaedro, el agua al Icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el Dodecaedro. | A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco Sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teaetus. En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de Demócrito, para Platón cada uno de los sólidos correspondía a uno de las partículas que conformaban cada uno de los elementos. Según Platón, la tierra estaba asociada al [[cubo]], el fuego al Tetraedro, el aire al Octaedro, el agua al Icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el Dodecaedro. | ||
En | En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro ''De Divina Proportione'' (La Proporción Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Número áureo: | ||
#La Unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la Unicidad de Dios. | #La Unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la Unicidad de Dios. | ||
#El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad. | #El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad. | ||
| Línea 75: | Línea 75: | ||
#Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el Dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro. | #Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el Dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro. | ||
En | En 1525, Alberto Durero publica ''Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas'' donde describe cómo trazar con [[regla y compás]] la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”. | ||
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico del Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos | El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico del Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos | ||
| Línea 86: | Línea 86: | ||
A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830. | A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830. | ||
En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue '''τ''' del griego '''τομή''' que significa corte o sección. Sin embargo, la moderna denominación '''Φ''' ó '''φ''', la efectuó en | En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue '''τ''' del griego '''τομή''' que significa corte o sección. Sin embargo, la moderna denominación '''Φ''' ó '''φ''', la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias ya que ésta era la primera letra de su nombre '''Φειδίας'''. Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Live, de Sir Theodore Cook. | ||
== El número áureo en las Matemáticas == | == El número áureo en las Matemáticas == | ||
| Línea 148: | Línea 148: | ||
==== Representación mediante ecuaciones algebraicas ==== | ==== Representación mediante ecuaciones algebraicas ==== | ||
:<math>(\varphi)(\varphi - 1) = 1 \quad \longrightarrow \quad (\varphi)^2 - \varphi - 1 = 0 \quad \longrightarrow \quad \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> | :<math>(\varphi)(\varphi - 1) = 1 \quad \longrightarrow \quad (\varphi)^2 - \varphi - 1 = 0 \quad \longrightarrow \quad \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> | ||
| Línea 160: | Línea 159: | ||
==== Representación trigonométrica ==== | ==== Representación trigonométrica ==== | ||
:<math>\varphi = 1+2\sin(\pi/10) = 1 + 2\sin 18^\circ</math> | :<math>\varphi = 1+2\sin(\pi/10) = 1 + 2\sin 18^\circ</math> | ||
:<math>\varphi = {1 \over 2}\csc(\pi/10) = {1 \over 2}\csc 18^\circ</math> | :<math>\varphi = {1 \over 2}\csc(\pi/10) = {1 \over 2}\csc 18^\circ</math> | ||
| Línea 177: | Línea 175: | ||
==== Representación mediante raíces anidadas ==== | ==== Representación mediante raíces anidadas ==== | ||
:<math>\varphi = \sqrt{1 + \varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 +\cdots }}}}</math> | :<math>\varphi = \sqrt{1 + \varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 +\cdots }}}}</math> | ||
Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, | Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917. | ||
El teorema general dice: | El teorema general dice: | ||
| Línea 187: | Línea 184: | ||
==== Relación con la serie de Fibonacci ==== | ==== Relación con la serie de Fibonacci ==== | ||
Si se denota el enésimo Número de Fibonacci como F<sub>n</sub>, y al siguiente número de Fibonacci, como F<sub>n + 1</sub>, descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón oscila siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: <math>\textstyle \frac{3}{2}</math>= 1.5, <math>\textstyle \frac{8}{5}</math>= 1.6, y <math>\textstyle \frac{21}{13}</math>= 1.61538461..., lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que: | Si se denota el enésimo Número de Fibonacci como F<sub>n</sub>, y al siguiente número de Fibonacci, como F<sub>n + 1</sub>, descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón oscila siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: <math>\textstyle \frac{3}{2}</math>= 1.5, <math>\textstyle \frac{8}{5}</math>= 1.6, y <math>\textstyle \frac{21}{13}</math>= 1.61538461..., lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que: | ||
| Línea 206: | Línea 202: | ||
==== El rectángulo áureo de Euclides ==== | ==== El rectángulo áureo de Euclides ==== | ||
[[Archivo:Euclides. Rectángulo áureo .svg|framed|Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.]] | [[Archivo:Euclides. Rectángulo áureo .svg|framed|Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.]] | ||
El | El rectángulo ''AEFD'' es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides en su proposición 2.11 de ''Los Elementos'' obtiene su construcción.> | ||
:<math> GC = \sqrt{5}</math> | :<math> GC = \sqrt{5}</math> | ||
| Línea 225: | Línea 221: | ||
==== En el pentagrama ==== | ==== En el pentagrama ==== | ||
[[Archivo:Pentagram2.png| | [[Archivo:Pentagram2.png|right|350px|[[Pentagrama (geometría)|Pentagrama]] que ilustra algunas de las razones áureas: los segmentos rojo y azul, azul y verde, verde y morado.]] | ||
El número áureo tiene un papel muy importante en los Pentágonos regulares y en los Pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento, intersecta a otro segmento en una razón áurea. | El número áureo tiene un papel muy importante en los Pentágonos regulares y en los Pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento, intersecta a otro segmento en una razón áurea. | ||
| Línea 234: | Línea 230: | ||
==== El teorema de Ptolomeo y el pentágono ==== | ==== El teorema de Ptolomeo y el pentágono ==== | ||
[[Archivo:Ptolemy Pentagon.svg| | [[Archivo:Ptolemy Pentagon.svg|right|350px|Se puede calcular el número áureo usando el Teorema de Ptolomeo en un pentágono regular.]] | ||
Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el Teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante [[regla]] y | Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el Teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante [[regla]] y compás. Aplicando este teorema al [[cuadrilátero]] formado al remover uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden '''a''', y los lados y la base menor miden '''b''', resulta que ''b''<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup> + ''ab'' lo que implica: | ||
::<math>{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\,.</math> | ::<math>{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\,.</math> | ||
==== Relación con los sólidos platónicos ==== | ==== Relación con los sólidos platónicos ==== | ||
El número áureo esta relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el Icosaedro y el Dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo. | El número áureo esta relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el Icosaedro y el Dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo. | ||
Los vértices de un icosaedro puden darse en [[coordenadas cartesianas]] por los siguientes puntos: | Los vértices de un icosaedro puden darse en [[coordenadas cartesianas]] por los siguientes puntos: | ||
| Línea 255: | Línea 250: | ||
(-1, 1, 1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1), (-1, -1, -1) | (-1, 1, 1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1), (-1, -1, -1) | ||
[[Archivo:Dodecaedro rectangulos aureos.gif | [[Archivo:Dodecaedro rectangulos aureos.gif|right|120px|Las 12 esquinas de los rectángulos coinciden con los centros de las caras de un dodeacaedro.]] | ||
Para un dodecaedtro con aristas de longitid a, su volumen y su área total se puden expresar también en términos del número áureo: | Para un dodecaedtro con aristas de longitid a, su volumen y su área total se puden expresar también en términos del número áureo: | ||
| Línea 266: | Línea 261: | ||
== El número áureo en la Naturaleza == | == El número áureo en la Naturaleza == | ||
[[Archivo:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|350px | [[Archivo:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|right|350px|Concha de Nautilus en Espiral logarítmica]] | ||
En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea: | En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea: | ||
*No hay simetría pentagonal ni pentágonos en la materia inanimada. El pentágono surge únicamente en los seres vivos, ningún cristal, por ejemplo, tiene forma pentagonal. | *No hay simetría pentagonal ni pentágonos en la materia inanimada. El pentágono surge únicamente en los seres vivos, ningún cristal, por ejemplo, tiene forma pentagonal. | ||
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== El número áureo en el Arte == | == El número áureo en el Arte == | ||
[[Archivo:Da_Vinci_Vitruve_Luc_Viatour.jpg|200px | [[Archivo:Da_Vinci_Vitruve_Luc_Viatour.jpg|right|200px|<center>Hombre de Vitruvio</center><center>Leonardo da Vinci</center>]] | ||
*Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo <math>\left(\ 1,\;\sqrt{\frac{\sqrt{5} + 1}{2}},\;\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\right)</math>, donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice inexistente y el número áureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por los matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver referencias), cuenta con el testimonio histórico de Heródoto y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción de semejante tamaño deba contener errores inevitables a toda obra arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la práctica puede manejar únicamente números racionales. Los demás investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de sentido matemático. No obstante, en base a mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades. | *Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo <math>\left(\ 1,\;\sqrt{\frac{\sqrt{5} + 1}{2}},\;\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\right)</math>, donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice inexistente y el número áureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por los matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver referencias), cuenta con el testimonio histórico de Heródoto y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción de semejante tamaño deba contener errores inevitables a toda obra arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la práctica puede manejar únicamente números racionales. Los demás investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de sentido matemático. No obstante, en base a mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades. | ||
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*Zeysing notó la presencia de los números 3, 5, 8 y 13, de la Sucesión de Fibonacci, en el cálculo de los intervalos aferentes a los dos tipos de acordes perfectos. Los dos tonos del acorde mayor final, mi y do por ejemplo (la sexta menor o tercia mayor invertida en do mayor), están entre sí en la razón cinco octavos. Los dos tonos del acorde menor final, por ejemplo, mi bemol y do (sexta mayor o tercia transpuesta en do menor) dan la razón tres quintos.<ref>Capítulo II, "De la Proporción", en el libro citado de Matila Ghyka</ref> | *Zeysing notó la presencia de los números 3, 5, 8 y 13, de la Sucesión de Fibonacci, en el cálculo de los intervalos aferentes a los dos tipos de acordes perfectos. Los dos tonos del acorde mayor final, mi y do por ejemplo (la sexta menor o tercia mayor invertida en do mayor), están entre sí en la razón cinco octavos. Los dos tonos del acorde menor final, por ejemplo, mi bemol y do (sexta mayor o tercia transpuesta en do menor) dan la razón tres quintos.<ref>Capítulo II, "De la Proporción", en el libro citado de Matila Ghyka</ref> | ||
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