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[[Archivo:Image-Golden ratio line.png|200px | [[Archivo:Image-Golden ratio line.png|right|200px|Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total <font color="green">'''''a+b'''''</font> es al segmento más largo <font color="blue">'''''a'''''</font> como <font color="blue">'''''a'''''</font> es al segmento más corto <font color="red">'''''b'''''</font>.]] | ||
El '''número áureo''' o de oro (también llamado '''número dorado''', '''sección áurea''', '''razón áurea''', '''razón dorada''', '''media áurea''', '''proporción áurea''' y '''divina proporción''') representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el Número irracional: | El '''número áureo''' o de oro (también llamado '''número dorado''', '''sección áurea''', '''razón áurea''', '''razón dorada''', '''media áurea''', '''proporción áurea''' y '''divina proporción''') representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el Número irracional: | ||
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586\,834\,365\,638\ ...</math> | 586\,834\,365\,638\ ...</math> | ||
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Se trata de un | Se trata de un Número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc. | ||
Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia Mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de [[arquitectura]] y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología. | Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia Mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de [[arquitectura]] y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología. | ||
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<math>x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{\varphi} \approx -0,61803</math> | <math>x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{\varphi} \approx -0,61803</math> | ||
La solución positiva es el valor del número áureo, y esto es una prueba formal de que el número áureo es irracional, ya que incluye | La solución positiva es el valor del número áureo, y esto es una prueba formal de que el número áureo es irracional, ya que incluye la raíz de un número primo. | ||
== Historia del número áureo == | == Historia del número áureo == | ||
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{{Cita|''"Se dice que una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor."''|Euclides en ''Los Elementos''.}} | {{Cita|''"Se dice que una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor."''|Euclides en ''Los Elementos''.}} | ||
Euclices demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir es irracional. | Euclices demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir es irracional. | ||
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{{Cita|''"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen."''|Proclo en ''Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides''.}} | {{Cita|''"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen."''|Proclo en ''Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides''.}} | ||
Aquí a menudo se interpretó la palabra sección ('''τομή''') como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra ''sección'' no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los Pitagóricos, eran de particular importancia y la llave a la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos. | Aquí a menudo se interpretó la palabra sección ('''τομή''') como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra ''sección'' no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los Pitagóricos, eran de particular importancia y la llave a la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos. | ||
A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco Sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teaetus. En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de | A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco Sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teaetus. En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de Demócrito, para Platón cada uno de los sólidos correspondía a uno de las partículas que conformaban cada uno de los elementos. Según Platón, la tierra estaba asociada al [[cubo]], el fuego al Tetraedro, el aire al Octaedro, el agua al Icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el Dodecaedro. | ||
En | En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro ''De Divina Proportione'' (La Proporción Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Número áureo: | ||
#La Unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la Unicidad de Dios. | #La Unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la Unicidad de Dios. | ||
#El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad. | #El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad. | ||
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#Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el Dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro. | #Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el Dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro. | ||
En | En 1525, Alberto Durero publica ''Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas'' donde describe cómo trazar con [[regla y compás]] la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”. | ||
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico del Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos | El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico del Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos | ||
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{{Cita|''"Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como éstas la sección dorada."''|Martin Ohm en ''Die Reine Elementar Matematik'' (Las Matemáticas Puras Elementales).}} | {{Cita|''"Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como éstas la sección dorada."''|Martin Ohm en ''Die Reine Elementar Matematik'' (Las Matemáticas Puras Elementales).}} | ||
A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830. | A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830. | ||
En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue '''τ''' del griego '''τομή''' que significa corte o sección. Sin embargo, la moderna denominación '''Φ''' ó '''φ''', la efectuó en | En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue '''τ''' del griego '''τομή''' que significa corte o sección. Sin embargo, la moderna denominación '''Φ''' ó '''φ''', la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias ya que ésta era la primera letra de su nombre '''Φειδίας'''. Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Live, de Sir Theodore Cook. | ||
== El número áureo en las Matemáticas == | == El número áureo en las Matemáticas == | ||
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Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma | Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma | ||
<math>a_1 u_{n+k-1}+a_2 u_{n+k-2}+...+a_k u_n</math>, donde <math>a_i</math> es cualquier Número real o | <math>a_1 u_{n+k-1}+a_2 u_{n+k-2}+...+a_k u_n</math>, donde <math>a_i</math> es cualquier Número real o complejo y k es un Número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es <math>k=2</math>, <math>a_1 = 1</math> y <math>a_2 = 1</math>. | ||
Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir: | Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir: | ||
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==== Representación mediante ecuaciones algebraicas ==== | ==== Representación mediante ecuaciones algebraicas ==== | ||
:<math>(\varphi)(\varphi - 1) = 1 \quad \longrightarrow \quad (\varphi)^2 - \varphi - 1 = 0 \quad \longrightarrow \quad \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> | :<math>(\varphi)(\varphi - 1) = 1 \quad \longrightarrow \quad (\varphi)^2 - \varphi - 1 = 0 \quad \longrightarrow \quad \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> | ||
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==== Representación trigonométrica ==== | ==== Representación trigonométrica ==== | ||
:<math>\varphi = 1+2\sin(\pi/10) = 1 + 2\sin 18^\circ</math> | :<math>\varphi = 1+2\sin(\pi/10) = 1 + 2\sin 18^\circ</math> | ||
:<math>\varphi = {1 \over 2}\csc(\pi/10) = {1 \over 2}\csc 18^\circ</math> | :<math>\varphi = {1 \over 2}\csc(\pi/10) = {1 \over 2}\csc 18^\circ</math> | ||
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==== Representación mediante raíces anidadas ==== | ==== Representación mediante raíces anidadas ==== | ||
:<math>\varphi = \sqrt{1 + \varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 +\cdots }}}}</math> | :<math>\varphi = \sqrt{1 + \varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 +\cdots }}}}</math> | ||
Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, | Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917. | ||
El teorema general dice: | El teorema general dice: | ||
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==== Relación con la serie de Fibonacci ==== | ==== Relación con la serie de Fibonacci ==== | ||
Si se denota el enésimo Número de Fibonacci como F<sub>n</sub>, y al siguiente número de Fibonacci, como F<sub>n + 1</sub>, descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón oscila siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: <math>\textstyle \frac{3}{2}</math>= 1.5, <math>\textstyle \frac{8}{5}</math>= 1.6, y <math>\textstyle \frac{21}{13}</math>= 1.61538461..., lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que: | Si se denota el enésimo Número de Fibonacci como F<sub>n</sub>, y al siguiente número de Fibonacci, como F<sub>n + 1</sub>, descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón oscila siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: <math>\textstyle \frac{3}{2}</math>= 1.5, <math>\textstyle \frac{8}{5}</math>= 1.6, y <math>\textstyle \frac{21}{13}</math>= 1.61538461..., lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que: | ||
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==== El rectángulo áureo de Euclides ==== | ==== El rectángulo áureo de Euclides ==== | ||
[[Archivo:Euclides. Rectángulo áureo .svg|framed|Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.]] | [[Archivo:Euclides. Rectángulo áureo .svg|framed|Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.]] | ||
El | El rectángulo ''AEFD'' es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides en su proposición 2.11 de ''Los Elementos'' obtiene su construcción.> | ||
:<math> GC = \sqrt{5}</math> | :<math> GC = \sqrt{5}</math> | ||
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==== En el pentagrama ==== | ==== En el pentagrama ==== | ||
[[Archivo:Pentagram2.png| | [[Archivo:Pentagram2.png|right|350px|[[Pentagrama (geometría)|Pentagrama]] que ilustra algunas de las razones áureas: los segmentos rojo y azul, azul y verde, verde y morado.]] | ||
El número áureo tiene un papel muy importante en los Pentágonos regulares y en los Pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento, intersecta a otro segmento en una razón áurea. | El número áureo tiene un papel muy importante en los Pentágonos regulares y en los Pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento, intersecta a otro segmento en una razón áurea. | ||
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==== El teorema de Ptolomeo y el pentágono ==== | ==== El teorema de Ptolomeo y el pentágono ==== | ||
[[Archivo:Ptolemy Pentagon.svg| | [[Archivo:Ptolemy Pentagon.svg|right|350px|Se puede calcular el número áureo usando el Teorema de Ptolomeo en un pentágono regular.]] | ||
Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el Teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante [[regla]] y | Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el Teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante [[regla]] y compás. Aplicando este teorema al [[cuadrilátero]] formado al remover uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden '''a''', y los lados y la base menor miden '''b''', resulta que ''b''<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup> + ''ab'' lo que implica: | ||
::<math>{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\,.</math> | ::<math>{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\,.</math> | ||
==== Relación con los sólidos platónicos ==== | ==== Relación con los sólidos platónicos ==== | ||
El número áureo esta relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el Icosaedro y el Dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo. | |||
El número áureo esta relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el | |||
Los vértices de un icosaedro puden darse en [[coordenadas cartesianas]] por los siguientes puntos: | Los vértices de un icosaedro puden darse en [[coordenadas cartesianas]] por los siguientes puntos: | ||
(0,<math>\phi</math>, 1), (0,<math>\phi</math>, -1), (0,<math>-\phi</math>, 1), (0,<math>-\phi</math>, -1), | (0,<math>\phi</math>, 1), (0,<math>\phi</math>, -1), (0,<math>-\phi</math>, 1), (0,<math>-\phi</math>, -1), | ||
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(-1, 1, 1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1), (-1, -1, -1) | (-1, 1, 1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1), (-1, -1, -1) | ||
[[Archivo:Dodecaedro rectangulos aureos.gif | [[Archivo:Dodecaedro rectangulos aureos.gif|right|120px|Las 12 esquinas de los rectángulos coinciden con los centros de las caras de un dodeacaedro.]] | ||
Para un dodecaedtro con aristas de longitid a, su volumen y su área total se puden expresar también en términos del número áureo: | Para un dodecaedtro con aristas de longitid a, su volumen y su área total se puden expresar también en términos del número áureo: | ||
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== El número áureo en la Naturaleza == | == El número áureo en la Naturaleza == | ||
[[Archivo:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg| | [[Archivo:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|right|350px|Concha de Nautilus en Espiral logarítmica]] | ||
En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea: | En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea: | ||
*No hay simetría pentagonal ni pentágonos en la materia inanimada. El pentágono surge únicamente en los seres vivos, ningún cristal, por ejemplo, tiene forma pentagonal. | *No hay simetría pentagonal ni pentágonos en la materia inanimada. El pentágono surge únicamente en los seres vivos, ningún cristal, por ejemplo, tiene forma pentagonal. | ||
*Leonardo de Pisa | *Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su ''Libro de los ábacos'' (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos ''n'' meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la parición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteo recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático . El cociente de dos términos sucesivos de la Sucesión de Fibonacci tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesión recurrente de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.<ref name = "Vorobiov1974">{{Cite book|title = Números de Fibonacci|date = 1974|publisher = Editorial Mir, Moscú, rústica, 112 páginas|author = N. N. Vorobiov; traducción de Carlos vega}}</ref> | ||
*La relación entre la cantidad de Abejas macho y abejas hembra en un panal. | *La relación entre la cantidad de Abejas macho y abejas hembra en un panal. | ||
*La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig). | *La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig). | ||
*La distribución de las hojas en un tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci. | *La distribución de las hojas en un tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci. | ||
*La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles | *La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles | ||
*La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior). | *La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior). | ||
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{{Cite book|title = "On Growth and Form"|date = 1992|publisher = Dover edition, 1116 páginas|author = D'Arcy Wentworth Thompson}} | {{Cite book|title = "On Growth and Form"|date = 1992|publisher = Dover edition, 1116 páginas|author = D'Arcy Wentworth Thompson}} | ||
{{Cite book|title = "Sobre el Crecimiento y la Forma|date = 1980|publisher = Editorial Hermann Blume, Madrid|author = D'Arcy Thompson}}Existen ediciones de unas 300 páginas, una reciente de Cambridge. | {{Cite book|title = "Sobre el Crecimiento y la Forma|date = 1980|publisher = Editorial Hermann Blume, Madrid|author = D'Arcy Thompson}}Existen ediciones de unas 300 páginas, una reciente de Cambridge. | ||
</ref> | </ref> Se debe entender que en toda consideración natural, aunque involucre a las ciencias consideradas más matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante que tenga un número infinito de decimales puede llegar hasta el límite matemático, porque en esa escala no existiría ningún objeto físico. La partícula elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemáticamente en los organismos las cumplen transgrediéndolas orgánicamente.<ref>Es una paráfrasis de un pensamiento de Ruskin mencionado en la página 139 del libro citado de Matila Ghyka</ref> | ||
== El número áureo en el ser humano == | == El número áureo en el ser humano == | ||
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== El número áureo en el Arte == | == El número áureo en el Arte == | ||
[[Archivo:Da_Vinci_Vitruve_Luc_Viatour.jpg | [[Archivo:Da_Vinci_Vitruve_Luc_Viatour.jpg|right|200px|<center>Hombre de Vitruvio</center><center>Leonardo da Vinci</center>]] | ||
*Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo <math>\left(\ 1,\;\sqrt{\frac{\sqrt{5} + 1}{2}},\;\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\right)</math>, donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice inexistente y el número áureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por los matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver referencias), cuenta con el testimonio histórico de Heródoto y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción de semejante tamaño deba contener errores inevitables a toda obra arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la práctica puede manejar únicamente números racionales. Los demás investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de sentido matemático. No obstante, en base a mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades. | *Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo <math>\left(\ 1,\;\sqrt{\frac{\sqrt{5} + 1}{2}},\;\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\right)</math>, donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice inexistente y el número áureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por los matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver referencias), cuenta con el testimonio histórico de Heródoto y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción de semejante tamaño deba contener errores inevitables a toda obra arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la práctica puede manejar únicamente números racionales. Los demás investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de sentido matemático. No obstante, en base a mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades. | ||
*La relación entre las partes, el techo y las columnas del [[Partenón]], en [[Atenas]] (s. V a. C.).Durante el primer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Universidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Theeteto de Platón para estudiar las proporciones relativas de las superficies, algo muy natural cuando se trata de obras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejantes se distinguen entre sí por el cociente de su lado mayor por el menor, número que basta para caracterizar a estas figuras y que denominó módulo del rectángulo. Un cuadrado tiene módulo 1 y el doble cuadrado módulo 2. Aquellos rectángulos cuyos módulos son números enteros o racionales fueron denominados "estáticos" y los que poseen módulos irracionales euclidianos, o sea, expresables algebraicamente como raíces de ecuaciones cuadráticas o reducibles a ellas, "dinámicos". El doble cuadrado es a la vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elemental es aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadrada de 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulo la raíz cuadrada de 5.<ref name = "Jay Hambidge1920">{{Cite book|title = "Dynamic Symmetry The Greek Vase"|date = 1920; 1930; 1931|publisher = Yale University Press, New Haven|author = Jay Hambidge}} | *La relación entre las partes, el techo y las columnas del [[Partenón]], en [[Atenas]] (s. V a. C.).Durante el primer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Universidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Theeteto de Platón para estudiar las proporciones relativas de las superficies, algo muy natural cuando se trata de obras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejantes se distinguen entre sí por el cociente de su lado mayor por el menor, número que basta para caracterizar a estas figuras y que denominó módulo del rectángulo. Un cuadrado tiene módulo 1 y el doble cuadrado módulo 2. Aquellos rectángulos cuyos módulos son números enteros o racionales fueron denominados "estáticos" y los que poseen módulos irracionales euclidianos, o sea, expresables algebraicamente como raíces de ecuaciones cuadráticas o reducibles a ellas, "dinámicos". El doble cuadrado es a la vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elemental es aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadrada de 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulo la raíz cuadrada de 5.<ref name = "Jay Hambidge1920">{{Cite book|title = "Dynamic Symmetry The Greek Vase"|date = 1920; 1930; 1931|publisher = Yale University Press, New Haven|author = Jay Hambidge}} | ||
{{Cite book|title = Dynamic Symmetry The greek vase|date = 22/08/2007|publisher = Rough Draf Printing|author = Jay Hambidge|id = ISBN 978-1-60386-037-6}}</ref> Posteriormente Hambidge estudió a los monumentos y templos griegos y llegó a encuadrar el frontón del Partenón en un rectángulo de módulo <math> \frac {4\Phi | {{Cite book|title = Dynamic Symmetry The greek vase|date = 22/08/2007|publisher = Rough Draf Printing|author = Jay Hambidge|id = ISBN 978-1-60386-037-6}}</ref> Posteriormente Hambidge estudió a los monumentos y templos griegos y llegó a encuadrar el frontón del Partenón en un rectángulo de módulo <math> \frac {4\Phi - 2}{\Phi + 1}</math>. Por medio de cuatro diagonales suministra las principales proporciones verticales y horizontales. Este rectángulo es descompuesto en seis de módulo <math> \sqrt {5}</math> y cuatro cuadrados.<ref name = "Jay Hambidge1924">{{Cite book|title = "The Parthenon and Other Greek temples, their Dynamic Symmetry"|date = 1924|publisher = Yale University Press, New haven. Hay todavía disponibles ejemplares de esa edición, tanto nuevos como usados y a la venta a aproximadamente $ (USA) 250|author = Jay Hambidge}}</ref> Como dato adicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se vería más ancho arriba que en la base, sus columnas se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fundamenta el techo sobre las columnas se vería como una especie de [[catenaria]], con los extremos del edificio aparentemente más altos que el centro. Los constructores hicieron la construcción compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores,en ambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que están en el medio tienen una inclinación de 2,61 segundos de arco. La línea que formarían los dinteles entre columnas y que constituye la base del triángulo que corona el edificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos de arco con el vértice más elevado que los extremos. De esta forma, y con otras correcciones que no se mencionan aquí, se logra que cualquier observador que se sitúe en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.<ref name = "Banister">{{Cite book|title = "A History of Architecture"|publisher = B. T. Basford, Londres|author = Banister; Fletcher}}</ref> | ||
*En el cuadro Leda atómica de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el matemático rumano Matila Ghyka. | *En el cuadro Leda atómica de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el matemático rumano Matila Ghyka. | ||
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*Autores como Bártok, Messiaen y Stockhausen, entre otros, compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propósito) con la sección áurea. | *Autores como Bártok, Messiaen y Stockhausen, entre otros, compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propósito) con la sección áurea. | ||
*El compositor [[México|mexicano]] | *El compositor [[México|mexicano]] Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra ''Alcancías'', para organizar las partes (unidades formales). | ||
*El grupo de rock progresivo norteamericano Tool, en su disco Lateralus (2001) hacen múltiples referencias al número áureo y a la Sucesión de Fibonacci, sobre todo en la canción que da nombre al disco, pues los versos de la misma están cantados de forma que el número de sílabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia. Además la voz entra en el minuto 1:37, que pasado al sistema decimal coincide muy aproximadamente con el número áureo. | *El grupo de rock progresivo norteamericano Tool, en su disco Lateralus (2001) hacen múltiples referencias al número áureo y a la Sucesión de Fibonacci, sobre todo en la canción que da nombre al disco, pues los versos de la misma están cantados de forma que el número de sílabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia. Además la voz entra en el minuto 1:37, que pasado al sistema decimal coincide muy aproximadamente con el número áureo. | ||
*Zeysing notó la presencia de los números 3, 5, 8 y 13, de la Sucesión de Fibonacci, en el cálculo de los intervalos aferentes a los dos tipos de acordes perfectos. Los dos tonos del acorde mayor final, mi y do por ejemplo (la sexta menor o tercia mayor invertida en do mayor), están entre sí en la razón cinco octavos. Los dos tonos del acorde menor final, por ejemplo, mi bemol y do (sexta mayor o tercia transpuesta en do menor) dan la razón tres quintos.<ref>Capítulo II, "De la Proporción", en el libro citado de Matila Ghyka</ref> | *Zeysing notó la presencia de los números 3, 5, 8 y 13, de la Sucesión de Fibonacci, en el cálculo de los intervalos aferentes a los dos tipos de acordes perfectos. Los dos tonos del acorde mayor final, mi y do por ejemplo (la sexta menor o tercia mayor invertida en do mayor), están entre sí en la razón cinco octavos. Los dos tonos del acorde menor final, por ejemplo, mi bemol y do (sexta mayor o tercia transpuesta en do menor) dan la razón tres quintos.<ref>Capítulo II, "De la Proporción", en el libro citado de Matila Ghyka</ref> | ||
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|título = Der Mathematischen Schlüssel zu der Pyramide des Cheops | |título = Der Mathematischen Schlüssel zu der Pyramide des Cheops | ||
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