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Diferencia entre revisiones de «Número áureo»
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[[Archivo:Image-Golden ratio line.png|200px | [[Archivo:Image-Golden ratio line.png|right|200px|Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total <font color="green">'''''a+b'''''</font> es al segmento más largo <font color="blue">'''''a'''''</font> como <font color="blue">'''''a'''''</font> es al segmento más corto <font color="red">'''''b'''''</font>.]] | ||
El '''número áureo''' o de oro (también llamado '''número dorado''', '''sección áurea''', '''razón áurea''', '''razón dorada''', '''media áurea''', '''proporción áurea''' y '''divina proporción''') representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el Número irracional: | El '''número áureo''' o de oro (también llamado '''número dorado''', '''sección áurea''', '''razón áurea''', '''razón dorada''', '''media áurea''', '''proporción áurea''' y '''divina proporción''') representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el Número irracional: | ||
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==== En el pentagrama ==== | ==== En el pentagrama ==== | ||
[[Archivo:Pentagram2.png| | [[Archivo:Pentagram2.png|right|350px|[[Pentagrama (geometría)|Pentagrama]] que ilustra algunas de las razones áureas: los segmentos rojo y azul, azul y verde, verde y morado.]] | ||
El número áureo tiene un papel muy importante en los Pentágonos regulares y en los Pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento, intersecta a otro segmento en una razón áurea. | El número áureo tiene un papel muy importante en los Pentágonos regulares y en los Pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento, intersecta a otro segmento en una razón áurea. | ||
| Línea 230: | Línea 230: | ||
==== El teorema de Ptolomeo y el pentágono ==== | ==== El teorema de Ptolomeo y el pentágono ==== | ||
[[Archivo:Ptolemy Pentagon.svg| | [[Archivo:Ptolemy Pentagon.svg|right|350px|Se puede calcular el número áureo usando el Teorema de Ptolomeo en un pentágono regular.]] | ||
Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el Teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante [[regla]] y compás. Aplicando este teorema al [[cuadrilátero]] formado al remover uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden '''a''', y los lados y la base menor miden '''b''', resulta que ''b''<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup> + ''ab'' lo que implica: | Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el Teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante [[regla]] y compás. Aplicando este teorema al [[cuadrilátero]] formado al remover uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden '''a''', y los lados y la base menor miden '''b''', resulta que ''b''<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup> + ''ab'' lo que implica: | ||
| Línea 261: | Línea 261: | ||
== El número áureo en la Naturaleza == | == El número áureo en la Naturaleza == | ||
[[Archivo:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|350px | [[Archivo:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|right|350px|Concha de Nautilus en Espiral logarítmica]] | ||
En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea: | En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea: | ||
*No hay simetría pentagonal ni pentágonos en la materia inanimada. El pentágono surge únicamente en los seres vivos, ningún cristal, por ejemplo, tiene forma pentagonal. | *No hay simetría pentagonal ni pentágonos en la materia inanimada. El pentágono surge únicamente en los seres vivos, ningún cristal, por ejemplo, tiene forma pentagonal. | ||
| Línea 289: | Línea 289: | ||
== El número áureo en el Arte == | == El número áureo en el Arte == | ||
[[Archivo:Da_Vinci_Vitruve_Luc_Viatour.jpg|200px | [[Archivo:Da_Vinci_Vitruve_Luc_Viatour.jpg|right|200px|<center>Hombre de Vitruvio</center><center>Leonardo da Vinci</center>]] | ||
*Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo <math>\left(\ 1,\;\sqrt{\frac{\sqrt{5} + 1}{2}},\;\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\right)</math>, donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice inexistente y el número áureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por los matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver referencias), cuenta con el testimonio histórico de Heródoto y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción de semejante tamaño deba contener errores inevitables a toda obra arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la práctica puede manejar únicamente números racionales. Los demás investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de sentido matemático. No obstante, en base a mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades. | *Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo <math>\left(\ 1,\;\sqrt{\frac{\sqrt{5} + 1}{2}},\;\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\right)</math>, donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice inexistente y el número áureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por los matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver referencias), cuenta con el testimonio histórico de Heródoto y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción de semejante tamaño deba contener errores inevitables a toda obra arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la práctica puede manejar únicamente números racionales. Los demás investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de sentido matemático. No obstante, en base a mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades. | ||