Diferencia entre revisiones de «Regla y compás»

La construcción con '''[[Regla (instrumento)|regla]] y [[Compás (geometría)|compás]]'''<ref>La primera edición de este artículo es casi en su totalidad una traducción del artículo [[:en:compass and straightedge|compass and straightedge]] de la Wikipedia en lengua inglesa. Salvo indicación en contrario, las referencias y vínculos externos son las originales de dicho artículo</ref> es el trazado de puntos, segmentos de recta y ángulos usando exclusivamente una regla y compás idealizados. La geometría clásica griega impuso esa norma para las construcciones, aunque los griegos también investigaron las que pueden obtenerse con instrumentos menos básicos.

== La regla y el compás de la geometría clásica ==

La regla y el compás de las construcciones geométricas son idealizaciones de las reglas y compases del mundo real. Son en realidad conceptos matemáticos abstractos, como pueda serlo la raíz cuadrada, y no instrumentos físicos.

*El '''compás''' puede trazar circunferencias de cualquier radio dado, pero a diferencia de la mayoría de compases reales, no tiene ninguna marca que permita repetir una abertura predeterminada. Sólo puede abrirse entre puntos que hayan sido previamente construidos, así que en realidad su única función es trazar una circunferencia, o parte de ella, con un centro predeterminado y un radio también determinado por un punto prefijado. Además, se trata de un compás "fláccido", que en cuanto deja de tocar el papel se cierra, perdiendo todo recuerdo del radio de la circunferencia que acaba de trazar.  

Los tres problemas insolubles clásicos de construcción con regla y compás son:

* '''Cuadratura del círculo''': Se trata de dibujar un cuadrado que tenga la misma superficie que un círculo dado. Se aporta como dato de partida el círculo a cuadrar (su centro y uno de los puntos de su circunferencia), y se considera resuelto el problema cuando consigue trazarse el segmento de recta que es un lado del cuadrado que iguala el área de dicho círculo.

== Las construcciones básicas ==

Todas las construcciones con regla y compás son aplicaciones sucesivas de cinco construcciones básicas, usando en cada una los puntos, líneas y círculos que se hayan creado en fases anteriores. Esas cinco únicas construcciones posibles son:

# Crear el segmento de recta que une dos puntos preexistentes (en realidad, la recta: recuérdese que la regla es de longitud infinita).

== Puntos y longitudes construibles ==

Hay muchas formas distintas de demostrar que algo es imposible. La estrategia que se seguirá en este artículo para presentar un esquema informal de las demostraciones de imposibilidad de los problemas clásicos es la de determinar en primer lugar los límites de la regla y el compás —lo que se puede hacer y lo que no se puede hacer con ellos—, y mostrar seguidamente que para resolver los problemas deberían superarse tales límites.

== Ángulos construibles ==

Hay una Biyección entre los ángulos construibles y los puntos que son construibles en cualquier circunferencia construible.  Los ángulos construibles forman un [[grupo (matemática)|grupo abeliano]] bajo la suma-módulo <math>2\pi\;</math> (que se corresponde con la multiplicación de los puntos sobre la circunferencia unitaria, considerados como números complejos). Los ángulos construibles son exactamente aquellos cuya tangente (o equivalentemente, su seno o su coseno) es un número construible. Por ejemplo, el heptadecágono regular (polígono de 17 lados iguales) es construible porque...

== Construcciones con regla y compás como operaciones de aritmética compleja ==

Dado un conjunto de puntos en el Plano euclídeo, basta seleccionar cualquiera de ellos para llamarlo '''0''' y cualquier otro para llamarlo '''1''', y elegir arbitrariamente una [[orientación]], para poder considerar los puntos como un conjunto de Números complejos

== Construcciones imposibles ==

=== Cuadratura del círculo ===

El más famoso de los problemas griegos, la ''Cuadratura del círculo'' plantea la construcción de un cuadrado cuya superficie sea la misma de la un [[círculo]] dado; y, por supuesto, resuelto con ''regla y compás''.

== Construyendo polígonos regulares ==

Algunos [[polígono regular|polígonos regulares]] (un ejemplo es el pentágono) son fácilmente construibles con regla y compás; otros no. Esto nos lleva a la pregunta: ¿es posible construir cualquier polígono regular con regla y compás?

Los polígonos construibles con regla y compás son aquellos que tienen un número de lados de la forma <math>2^r(2^{2^k}+1)</math>.

== Construcciones sólo con regla, o sólo con compás ==

Es posible, de acuerdo con el Teorema de Mohr-Mascheroni, obtener sólo con compás cualquier construcción  que pueda hacerse con regla y compás (excepto el hecho de trazar una recta). Es imposible obtener una raíz cuadrada sólo con regla, de modo que muchas construcciones factibles con compás no lo son con regla. Pero el Teorema de Poncelet-Steiner demuestra que basta con disponer previamente de un único círculo y su punto central para que todo lo construible con compás lo sea también sólo con regla (y el círculo y su centro previamente trazados).

== Construcciones extendidas ==

=== Reglas marcables ===

Arquímedes y Apolonio de Pérgamo realizaron construcciones con "regla marcable", una regla en la que se puedan dibujar rayas para guardar memoria exacta de distancias. Esto les permitía, por ejemplo, partir de un segmento de recta, dos rectas (o círculos) y un punto, y trazar una nueva recta que pasara por el punto dado e intersectara a las dos rectas iniciales, de modo que la distancia entre los puntos de intersección igualara la longitud del segmento dado. Esta construcción, llamada ''Neusis'' (''inclinación'', ''tendencia''), crea un segmento de recta de tamaño prefijado, que cumple la condición de tocar en sus extremos las dos rectas dadas, y además pasa por el punto dado, al que suele llamarse "polo".

=== Origami ===

De modo similar, la teoría matemática del Origami, o papiroflexia sin ningún instrumento, sólo hojas de papel, resulta más potente que la regla y compás clásicos. Igual que la regla marcable, el origami permite resolver ecuaciones cúbicas, lo que a su vez abre la resolución de cuárticas, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. Se ha demostrado que los puntos construibles por papiroflexia son exactamente los mismas que con regla marcable y compás; en particular, tampoco el origami permite resolver la cuadratura del círculo.

=== El cuerpo extendido ===

En términos abstractos, el uso de estas herramientas más potentes, ya sea la ''neusis'' de la regla marcable o el ''origami'' o papiroflexia, extienden el cuerpo de los números construíbles a un subcuerpo más amplio de los números complejos, que no sólo contiene la raíz cuadrada, sino también la Raíz cúbica de cualquier elemento (Como siempre, podemos evitar la ambigüedad sobre ''de qué raíz cúbica estamos hablando'' quedándonos sólo con los argumentos complejos menores que <math>\frac{2\pi}{3}</math>, para que haya una sola). Las fórmulas aritméticas de los puntos construíbles que hemos descrito más [[#Puntos y longitudes construibles|arriba]] tienen sus análogas en este cuerpo extendido, permitiendo ahora fórmulas que incluyen también raíces cúbicas.  

== Investigaciones recientes ==

Simon Plouffe ha escrito un artículo en el que muestra cómo la regla y el compás pueden usarse como una sencilla computadora, dotada de insospechada potencia de cálculo.<ref>Simon Plouffe. "The Computation of Certain Numbers Using a Ruler and Compass." ''Journal of Integer Sequences'', Vol. 1 (1998), Article 98.1.3.</ref>

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