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Diferencia entre revisiones de «Coordenadas ortogonales»
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Un '''sistema de coordenadas ortogonales''' es un [[sistema de coordenadas]] tal que en cada punto los vectores tangentes a las curvas coordenadas son | {{+}}Un '''sistema de coordenadas ortogonales''' es un [[sistema de coordenadas]] tal que en cada punto los vectores tangentes a las curvas coordenadas son ortogonales entre sí. Este tipo de coordenadas pueden definirse sobre un Espacio euclídeo o más generalmente sobre una Variedad riemanniana o pseudoriemanniana. | ||
==Definición== | ==Definición== | ||
| Línea 8: | Línea 8: | ||
El sistema de coordenadas será ortogonal si los vectores tangentes a las curvas coordenadas x<sub>i</sub> son ortogonales, es decir, si: | El sistema de coordenadas será ortogonal si los vectores tangentes a las curvas coordenadas x<sub>i</sub> son ortogonales, es decir, si: | ||
{{Ecuación|<math>g(\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j) = 0</math>||left}} | {{Ecuación|<math>g(\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j) = 0</math>||left}} | ||
Donde ''g''(, ) es el | Donde ''g''(, ) es el Tensor métrico del espacio donde se definen las coordenadas. | ||
==Ejemplos en el Espacio euclídeo== | ==Ejemplos en el Espacio euclídeo== | ||
| Línea 28: | Línea 28: | ||
0 & h_2^2 & 0 \\ | 0 & h_2^2 & 0 \\ | ||
0 & 0 & h_3^2 \end{bmatrix}</math>||left}} | 0 & 0 & h_3^2 \end{bmatrix}</math>||left}} | ||
Donde las tres componentes no nulas son los llamados | Donde las tres componentes no nulas son los llamados factores de escala son funciones de las tres coordenadas. | ||
===Operadores vectoriales en coordenadas ortogonales=== | ===Operadores vectoriales en coordenadas ortogonales=== | ||
Los | Los operadores vectoriales pueden expresarse fácilemente en términos de estas componentes del tensor métrico. | ||
* El | * El gradiente viene dado por: | ||
{{Ecuación| | {{Ecuación| | ||
<math>\mbox{grad}\ \Phi = \nabla\Phi = | <math>\mbox{grad}\ \Phi = \nabla\Phi = | ||
| Línea 40: | Línea 40: | ||
\frac{1}{h_3}\frac{\part \Phi}{\part x^3} \hat\mathbf{e}_3</math> | \frac{1}{h_3}\frac{\part \Phi}{\part x^3} \hat\mathbf{e}_3</math> | ||
||left}} | ||left}} | ||
{{Ref| La [[Divergencia (matemática)|divergencia]] viene dada por:}} | |||
{{Ecuación| | {{Ecuación| | ||
<math>\mbox{div}\ \mathbf{A} = \nabla\cdot\mathbf{A} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[ | <math>\mbox{div}\ \mathbf{A} = \nabla\cdot\mathbf{A} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[ | ||
| Línea 47: | Línea 47: | ||
\frac{\part}{\part x^3} (h_1 h_2 A_3) \right]</math> | \frac{\part}{\part x^3} (h_1 h_2 A_3) \right]</math> | ||
||left}} | ||left}} | ||
{{Ref| El Rotacional viene dado por el desarrollo del siguiente determinante:}} | |||
{{Ecuación| | {{Ecuación| | ||
<math>\mbox{rot}\ \mathbf{A} = \nabla\times\mathbf{A} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} | <math>\mbox{rot}\ \mathbf{A} = \nabla\times\mathbf{A} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} | ||
| Línea 55: | Línea 55: | ||
h_1 A_1 & h_2 A_2 & h_3 A_3 \end{vmatrix}</math> | h_1 A_1 & h_2 A_2 & h_3 A_3 \end{vmatrix}</math> | ||
||left}} | ||left}} | ||
{{Ref| El Laplaciano de una magnitud escalar viene dado por:}} | |||
{{Ecuación| | {{Ecuación| | ||
<math>\Delta\Phi = (\nabla\cdot\nabla)\Phi = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[ | <math>\Delta\Phi = (\nabla\cdot\nabla)\Phi = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[ | ||
| Línea 62: | Línea 62: | ||
\frac{\part}{\part x^3} \left(\frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\part \Phi}{\part x^3}\right) \right]</math> | \frac{\part}{\part x^3} \left(\frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\part \Phi}{\part x^3}\right) \right]</math> | ||
||left}} | ||left}} | ||
==Ejemplos en variedades diferenciales== | ==Ejemplos en variedades diferenciales== | ||
La coordenadas usadas en la | La coordenadas usadas en la Teoría de la relatividad general son el ejemplo físico más conocido de sistemas de coordenadas sobre un espacio globalmente no euclídeo. En un espacio estático siempre es posible escoger alrededor de cualquier punto del Espacio-tiempo un sistema de coordenadas ortogonal. | ||
[[ | [[Carpeta:Sistemas de coordenadas]] | ||
{{Referencias}} | |||
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