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El '''alabeo unitario''' o '''alabeo seccional''' es una función ω(''y,z'') que predice la forma deformada de la sección transversal de un [[prisma mecánico]] y que define varias características geométricas importantes relacionadas con el cálculo de tensiones en caso de flexión, torsión y cortante combinados. [Este alabeo unitario tiene dimensiones de longitud al cuadrado (L<sup>2</sup>)]. | {{+}}El '''alabeo unitario''' o '''alabeo seccional''' es una función ω(''y,z'') que predice la forma deformada de la sección transversal de un [[prisma mecánico]] y que define varias características geométricas importantes relacionadas con el cálculo de tensiones en caso de flexión, torsión y cortante combinados. [Este alabeo unitario tiene dimensiones de longitud al cuadrado (L<sup>2</sup>)]. | ||
== Ecuación de alabeo unitario == | == Ecuación de alabeo unitario == | ||
Para un prisma mecánico de sección constante ''A'', el alabeo unitario es una función <math>\omega(y,z)\;</math> definida sobre dicha sección transversal, que es solución del siguiente | Para un prisma mecánico de sección constante ''A'', el alabeo unitario es una función <math>\omega(y,z)\;</math> definida sobre dicha sección transversal, que es solución del siguiente Problema de Von Neumann: | ||
{{Ecuación|<math>\begin{cases} \cfrac{\partial^2\omega}{\partial y^2}+ \cfrac{\partial^2\omega}{\partial z^2} = 0 & \forall(y,z)\in A \\ | {{Ecuación|<math>\begin{cases} \cfrac{\partial^2\omega}{\partial y^2}+ \cfrac{\partial^2\omega}{\partial z^2} = 0 & \forall(y,z)\in A \\ | ||
\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\nabla}\omega = \cfrac{1}{2}\cfrac{d}{d\bar{s}} \left[(y-y_C)^2+(z-z_C)^2 \right] & \forall(y,z)\in \partial A \end{cases}</math>|1|left}} | \mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\nabla}\omega = \cfrac{1}{2}\cfrac{d}{d\bar{s}} \left[(y-y_C)^2+(z-z_C)^2 \right] & \forall(y,z)\in \partial A \end{cases}</math>|1|left}} | ||
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=== Deducción de la ecuación de alabeo === | === Deducción de la ecuación de alabeo === | ||
En el problema de torsión pura de Saint-Venant para una | En el problema de torsión pura de Saint-Venant para una Pieza prismática la [[hipótesis cinemática]] lleva a que los desplzamientos están relacionados con los giros del eje baricéntrico alrededor de sí mismo por la siguiente condición: | ||
{{Ecuación|<math> | {{Ecuación|<math> | ||
\begin{Bmatrix} u_x(x,y,z) \\ | \begin{Bmatrix} u_x(x,y,z) \\ u_y(x,y,z) \\ u_z(x,y,z) \end{Bmatrix} = | ||
\begin{bmatrix} \omega(y,z) & 0 \\ 0 & -z+z_C \\ | \begin{bmatrix} \omega(y,z) & 0 \\ 0 & -z+z_C \\ 0 & y-y_C \end{bmatrix} | ||
\begin{Bmatrix} \cfrac{d\theta_x}{ds}\\ \theta_x \end{Bmatrix} | \begin{Bmatrix} \cfrac{d\theta_x}{ds}\\ \theta_x \end{Bmatrix} | ||
</math>|2|left}} | </math>|2|left}} | ||
Calculando a partir de ellos las deformaciones y aplicando después las | Calculando a partir de ellos las deformaciones y aplicando después las ecuaciones de Lamé-Hooke se llega a que la relación entre tensiones y giros sobre el eje son: | ||
{{Ecuación|<math>\begin{cases} | {{Ecuación|<math>\begin{cases} | ||
\sigma_{xx} = \frac{2G}{(1-2\nu)} \left[(1-\nu)\varepsilon_{xx}+\nu (\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}) \right] = 0\\ | \sigma_{xx} = \frac{2G}{(1-2\nu)} \left[(1-\nu)\varepsilon_{xx}+\nu (\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}) \right] = 0\\ | ||
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{{Ecuación|<math>\omega(y,z) = \omega_0(y,z) - z_Cy + y_Cz \qquad y_C = \frac{I_zI_{y\bar\omega}-I_{yz} I_{z\bar\omega}}{I_zI_y-I_{yz}^2} \qquad z_C = \frac{I_yI_{z\bar\omega}-I_{yz}I_{y\bar\omega}}{I_zI_y-I_{yz}^2} </math>||left}} | {{Ecuación|<math>\omega(y,z) = \omega_0(y,z) - z_Cy + y_Cz \qquad y_C = \frac{I_zI_{y\bar\omega}-I_{yz} I_{z\bar\omega}}{I_zI_y-I_{yz}^2} \qquad z_C = \frac{I_yI_{z\bar\omega}-I_{yz}I_{y\bar\omega}}{I_zI_y-I_{yz}^2} </math>||left}} | ||
Donde <math>I_y, I_z, I_{yz} \,</math> son los [[Segundo momento de área#Momentos de inercia principales|momentos de área y el producto de inercia]]. Y donde <math>I_{y\bar\omega}, I_{z\bar\omega} \,</math> son los '''productos de inercia sectoriales''' definidos como:{{Ecuación|<math>I_{y\bar\omega} = \int_A z\omega_0(y,z)\ dydz \qquad I_{z\bar\omega}=\int_A y\omega_0(y,z)\ dydz</math>||left}} | Donde <math>I_y, I_z, I_{yz} \,</math> son los [[Segundo momento de área#Momentos de inercia principales|momentos de área y el producto de inercia]]. Y donde <math>I_{y\bar\omega}, I_{z\bar\omega} \,</math> son los '''productos de inercia sectoriales''' definidos como:{{Ecuación|<math>I_{y\bar\omega} = \int_A z\omega_0(y,z)\ dydz \qquad I_{z\bar\omega}=\int_A y\omega_0(y,z)\ dydz</math>||left}} | ||
== Ejemplos de alabeos seccionales == | == Ejemplos de alabeos seccionales == | ||
En general si una sección no es circular o circular hueca presentará alabeo seccional diferente de cero. Esto puede probarse rigurosamente calculando el alabeo seccional de una sección elíptica, que depende de la diferencia de cuadrados de las longitudes de los semiejes, si estos son iguales como sucede en en un círculo la función de alabeo se anula. | En general si una sección no es circular o circular hueca presentará alabeo seccional diferente de cero. Esto puede probarse rigurosamente calculando el alabeo seccional de una sección elíptica, que depende de la diferencia de cuadrados de las longitudes de los semiejes, si estos son iguales como sucede en en un círculo la función de alabeo se anula. | ||
En el caso general la sección de alabeo es complicada y requiere resolver un | En el caso general la sección de alabeo es complicada y requiere resolver un Problema de Von Neumann. Para algunos casos sencillos cuando la sección es maciza y el contorno viene expresado por una función de tipo ''f''(''y, z'') = 0 siendo el lapalaciano de ''f'' constante el problema de buscar la función de alabeo puede simplificarse notablemente mediante la función de Prandtl, ya que esta función basta encontrar una función de Prandtl que se anule sobre el contorno. Esto es precisamenet lo que sucede con la secciones elíptica y triangular, sin embargo con secciones más complicadas como una sección rectangular el cálculo es más complicado. | ||
=== Alabeo unitario de una sección triangular === | === Alabeo unitario de una sección triangular === | ||
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=== Alabeo unitario de una sección rectangular === | === Alabeo unitario de una sección rectangular === | ||
En una sección rectangular, donde el centro de cortante coincide con centro geométrico, la función de alabeo puede calcularse en términos de la función de Prandtl<ref>Ortiz Berrocal, 1998, p. 296-300.</ref> que a su vez puede obtenerse por integración de Laplace mediante | En una sección rectangular, donde el centro de cortante coincide con centro geométrico, la función de alabeo puede calcularse en términos de la función de Prandtl<ref>Ortiz Berrocal, 1998, p. 296-300.</ref> que a su vez puede obtenerse por integración de Laplace mediante Separación de variables: | ||
{{Ecuación|<math>\begin{cases} | {{Ecuación|<math>\begin{cases} | ||
\cfrac{\part \omega}{\part y} = z+\cfrac{1}{G\theta}\cfrac{\part \Phi}{\part z} = z + | \cfrac{\part \omega}{\part y} = z+\cfrac{1}{G\theta}\cfrac{\part \Phi}{\part z} = z + | ||
| Línea 57: | Línea 56: | ||
\cfrac{\part \omega}{\part z} = -y-\cfrac{1}{G\theta}\cfrac{\part \Phi}{\part y} = -y + | \cfrac{\part \omega}{\part z} = -y-\cfrac{1}{G\theta}\cfrac{\part \Phi}{\part y} = -y + | ||
\cfrac{8b}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty} \left[ \cfrac{(-1)^{k}}{(2k+1)^2} \left(1-\cfrac{\cosh \frac{(2k+1)\pi z}{b}}{\cosh \frac{(2k+1)\pi a}{b}}\right)\sin \frac{(2k+1)\pi y}{b}\right] \end{cases}</math>||left}} | \cfrac{8b}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty} \left[ \cfrac{(-1)^{k}}{(2k+1)^2} \left(1-\cfrac{\cosh \frac{(2k+1)\pi z}{b}}{\cosh \frac{(2k+1)\pi a}{b}}\right)\sin \frac{(2k+1)\pi y}{b}\right] \end{cases}</math>||left}} | ||
== Momento de alabeo == | == Momento de alabeo == | ||
El momento de alabeo es la magnitud definida por la siguiente integral:<ref>Monleón, 1999, p.</ref> | El momento de alabeo es la magnitud definida por la siguiente integral:<ref>Monleón, 1999, p.</ref> | ||
| Línea 64: | Línea 62: | ||
{{Ecuación|<math>I_\omega = \frac{h^2I_{min}}{4}</math>||left}} | {{Ecuación|<math>I_\omega = \frac{h^2I_{min}}{4}</math>||left}} | ||
Donde ''h'' denota la altura total del perfil e ''I<sub>min</sub>'' el momento de inercia mínimo. | Donde ''h'' denota la altura total del perfil e ''I<sub>min</sub>'' el momento de inercia mínimo. | ||
{{Referencias}} | |||
{{Ref| Ortiz Berrocal, L., ''Elasticidad'', McGraw-Hill, 1998, ISBN 84-481-2046-9.}} | |||
{{ | {{Ref| Monleón Cremades, S., ''Análisis de vigas, arcos, placas y láminas'', Ed. UPV, 1999, ISBN 84-7721-769-6.}} | ||
[[Carpeta:Resistencia de materiales|Alabeo seccional]] | |||
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