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{{+}}En física e ingeniería, el término '''elasticidad''' designa la propiedad mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentra sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan. | {{+}} | ||
En física e ingeniería, el término '''elasticidad''' designa la propiedad mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentra sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan. | |||
==Fundamentación teórica== | ==Fundamentación teórica== | ||
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* '''Sólidos elásticos lineales''', en los que tensiones y deformaciones estén relacionadas linealmente (linealidad material). | * '''Sólidos elásticos lineales''', en los que tensiones y deformaciones estén relacionadas linealmente (linealidad material). | ||
* '''Deformaciones pequeñas''', en ese caso puede deformaciones y desplazamientos estén relacionados linealmente. En ese caso puede usarse el | * '''Deformaciones pequeñas''', en ese caso puede deformaciones y desplazamientos estén relacionados linealmente. En ese caso puede usarse el Tensor deformación lineal de Green-Lagrange para representar el estado de deformación de un sólido (linealidad geométrica). | ||
Debido a los pequeños desplazamientos y deformaciones a los que son sometidos los cuerpos, se usan las siguientes simplificaciones y aproximaciones para sistemas estables: | Debido a los pequeños desplazamientos y deformaciones a los que son sometidos los cuerpos, se usan las siguientes simplificaciones y aproximaciones para sistemas estables: | ||
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Donde ''T'' es el llamado tensor tensión, también llamado Tensor de tensiones, que fijada una base vectorial ortogonal viene representado por una matriz simétrica 3x3: | Donde ''T'' es el llamado tensor tensión, también llamado Tensor de tensiones, que fijada una base vectorial ortogonal viene representado por una matriz simétrica 3x3: | ||
{{Ecuación|<math> \mathbf{T} = \left( | {{Ecuación|<math> \mathbf{T} = \left( | ||
\begin{matrix} | |||
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\ | |||
\sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\\ | |||
\sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} | |||
\end{matrix} \right) = \left( | |||
\begin{matrix} | |||
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\ | |||
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz}\\ | |||
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z | |||
\end{matrix} \right) | |||
</math>||left}} | </math>||left}} | ||
Donde la primera matriz es la forma común de escribir el tensor tensión en física y la segunda forma usa las convenciones comunes en ingeniería. Dada una región en forma de | Donde la primera matriz es la forma común de escribir el tensor tensión en física y la segunda forma usa las convenciones comunes en ingeniería. Dada una región en forma de Ortoedro con caras paralelas a los ejes coordenados situado en el interior un sólido elástico tensionado las componentes σ<sub>''xx''</sub>, σ<sub>''yy''</sub> y σ<sub>''zz''</sub> dan cuenta de cambios de longitud en las tres direcciones, pero que no distorsinan los ángulos del ortoedro, mientras que las componentes σ<sub>''xy''</sub>, σ<sub>''yz''</sub> y σ<sub>''zx''</sub> están relacionadas con la distorsión angular que convertiría el ortoedro en un paralelepípedo. | ||
=== Deformación === | === Deformación === | ||
| Línea 47: | Línea 48: | ||
\mathbf{\epsilon_{ik}} = | \mathbf{\epsilon_{ik}} = | ||
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\ | |||
\varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\ | |||
\varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} | |||
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | ||
\varepsilon_{xx} & \frac{1}{2}\gamma_{xy} & \frac{1}{2}\gamma_{xz} \\ | |||
\frac{1}{2}\gamma_{yx} & \varepsilon_{yy} & \frac{1}{2}\gamma_{yz} \\ | |||
\frac{1}{2}\gamma_{zx} & \frac{1}{2}\gamma_{zy} & \varepsilon_{zz} | |||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
| Línea 67: | Línea 68: | ||
:<math>\sigma_{ij} = \sum_{k,l} C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \,</math> | :<math>\sigma_{ij} = \sum_{k,l} C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \,</math> | ||
<br /> | <br /> | ||
En el caso de un problema unidimensional, σ = σ<sub>11</sub>, ε = ε<sub>11</sub>, ''C''<sub>11</sub> = | En el caso de un problema unidimensional, σ = σ<sub>11</sub>, ε = ε<sub>11</sub>, ''C''<sub>11</sub> = ''E'' y la ecuación anterior se reduce a:<br /> | ||
:<math> \sigma = E\epsilon \,</math> | :<math> \sigma = E\epsilon \,</math> | ||
<br /> | <br /> | ||
Donde ''E'' es el módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young y ''G'' el Módulo de elasticidad transversal. Para caracterizar el comportamiento de un sólido elástico lineal e isótropo se requieren además del módulo de Young otra constante elástica, llamada Coeficiente de Poisson (ν) y el | Donde ''E'' es el módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young y ''G'' el Módulo de elasticidad transversal. Para caracterizar el comportamiento de un sólido elástico lineal e isótropo se requieren además del módulo de Young otra constante elástica, llamada Coeficiente de Poisson (ν) y el Coeficiente de temperatura (α). Por otro lado, las ecuaciones de Lamé para un sólido elástico lineal e isótropo pueden ser deducidas del Teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden escribirse en la forma:<br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
:<math>\epsilon_{xx} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{xx} - \nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz}) + \alpha\mathcal{4}T \right) \qquad \epsilon_{xy} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xy}= \frac{\sigma_{xy}}{2G} </math> | :<math>\epsilon_{xx} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{xx} - \nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz}) + \alpha\mathcal{4}T \right) \qquad \epsilon_{xy} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xy}= \frac{\sigma_{xy}}{2G} </math> | ||
| Línea 80: | Línea 81: | ||
=== Ecuaciones de equilibrio === | === Ecuaciones de equilibrio === | ||
Cuando las deformaciones no varían con el tiempo, el campo de tensiones dado por el tensor tensión representa un estado de equilibrio con las fuerzas de volumen | Cuando las deformaciones no varían con el tiempo, el campo de tensiones dado por el tensor tensión representa un estado de equilibrio con las fuerzas de volumen ''b'' = (''b<sub>x</sub>,b<sub>y</sub>,b<sub>z</sub>'') en todo punto del sólido, lo cual implica que el campo de tensiones satisface estas condiciones de equilibrio:<br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
:<math> | :<math> | ||
\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial z} + b_x = 0 | |||
</math> | </math> | ||
:<math> | :<math> | ||
\frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial z} + b_y = 0 | |||
</math> | </math> | ||
:<math> | :<math> | ||
\frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} + b_z = 0 | |||
</math> | </math> | ||
<br /> | <br /> | ||
Además de estas condiciones de contorno, sobre la | Además de estas condiciones de contorno, sobre la superficie del sólido, que relacionan el vector normal a la misma ''n'' = (''n<sub>x</sub>,n<sub>y</sub>,n<sub>z</sub>'') (dirigido hacia el exterior) con las fuerzas por unidad de superficie que actúan en el mismo punto de la superficie ''f'' = (''f<sub>x</sub>,f<sub>y</sub>,f<sub>z</sub>''):<br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
:<math> | :<math> | ||
\sigma_{xx}\ n_x+ \sigma_{xy}\ n_y+ \sigma_{xz}\ n_z = f_x | |||
</math> | </math> | ||
:<math> | :<math> | ||
\sigma_{yx}\ n_x+ \sigma_{yy}\ n_y+ \sigma_{yz}\ n_z = f_y | |||
</math> | </math> | ||
:<math> | :<math> | ||
\sigma_{zx}\ n_x+ \sigma_{zy}\ n_y+ \sigma_{zz}\ n_z = f_z | |||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
===Problema elástico=== | ===Problema elástico=== | ||
Un problema elástico lineal queda definido por la geometría del sólido, las propiedades de dicho material, unas fuerzas actuantes y unas condiciones de contorno que imponen restricciones al movimiento de cuerpo. A partir de esos elementos es posible encontrar un campo de tensiones internas sobre el sólido (que permitirá identificar los puntos que soportan más tensión) y un campo de desplazamientos (que permitirá encontrar si la rigidez del elemento resistente es la adecuada para su uso). | Un problema elástico lineal queda definido por la geometría del sólido, las propiedades de dicho material, unas fuerzas actuantes y unas condiciones de contorno que imponen restricciones al movimiento de cuerpo. A partir de esos elementos es posible encontrar un campo de tensiones internas sobre el sólido (que permitirá identificar los puntos que soportan más tensión) y un campo de desplazamientos (que permitirá encontrar si la rigidez del elemento resistente es la adecuada para su uso). | ||
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* Las seis ecuaciones constitutivas, para un material elástico lineal isótropo y homogéneo estas ecuaciones vienen dadas por las ecuaciones de Lamé-Hooke. | * Las seis ecuaciones constitutivas, para un material elástico lineal isótropo y homogéneo estas ecuaciones vienen dadas por las ecuaciones de Lamé-Hooke. | ||
Estas 15 ecuaciones igualan exactamente el número de incógnitas. Un método común es sustituir las relaciones entre desplazamientos y deformaciones en las ecuaciones constitutivas, lo cual hace que se cumplan las ecuaciones de compatibilidad trivialmente. A su vez el resultado de esta sustitución se puede introducir en las ecuaciones de equilibrio de Cauchy lo cual convierte el anterior sistema en un sistema de tres ecuaciones en derivadas paraciales y tres desplazamientos como incógnita. | Estas 15 ecuaciones igualan exactamente el número de incógnitas. Un método común es sustituir las relaciones entre desplazamientos y deformaciones en las ecuaciones constitutivas, lo cual hace que se cumplan las ecuaciones de compatibilidad trivialmente. A su vez el resultado de esta sustitución se puede introducir en las ecuaciones de equilibrio de Cauchy lo cual convierte el anterior sistema en un sistema de tres ecuaciones en derivadas paraciales y tres desplazamientos como incógnita. | ||
De esta manera se llega a un sistema de 15 ecuaciones con 15 incognitas. La formulación más simple para resolver el problema elástico es la llamada [[problema elástico#El problema elástico lineal#Formulación de Navier en desplazamientos|formulación de Navier]], esta formulación reduce el sistema a un sistema de tres ecuaciones diferenciales para los desplazamientos. Esto se logra insertando en las ecuaciones de equilibrio las ecuaciones propias del material, las ecuaciones de los desplazamientos y las ecuaciones de las deformaciones podemos expresar nuestro sistema de ecuaciones en un sistema de tres ecuaciones diferenciales parciales. Si lo reducimos hacia las componentes del vector de desplazamientos llegamos a las ecuaciones de Navier: | De esta manera se llega a un sistema de 15 ecuaciones con 15 incognitas. La formulación más simple para resolver el problema elástico es la llamada [[problema elástico#El problema elástico lineal#Formulación de Navier en desplazamientos|formulación de Navier]], esta formulación reduce el sistema a un sistema de tres ecuaciones diferenciales para los desplazamientos. Esto se logra insertando en las ecuaciones de equilibrio las ecuaciones propias del material, las ecuaciones de los desplazamientos y las ecuaciones de las deformaciones podemos expresar nuestro sistema de ecuaciones en un sistema de tres ecuaciones diferenciales parciales. Si lo reducimos hacia las componentes del vector de desplazamientos llegamos a las ecuaciones de Navier: | ||
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===Elasticidad y Diseño mecánico=== | ===Elasticidad y Diseño mecánico=== | ||
En ingeniería mecánica es frecuente plantear problemas elásticos para decidir la adecuación de un diseño. En ciertas situaciones de interés práctico no es necesario resolver el problema elástico completo sino que basta con plantear un modelo simplificado y aplicar los métodos de la [[resistencia de materiales]] para calcular aproximadamente tensiones y desplazamientos. Cuando la geometría involucrada en el diseño mecánico es compleja la resistencia de materiales suele ser insuficiente y la resolución exacta del problema elástico inabordable desde el punto de vista práctico. En esos casos se usan habitualmente métodos numéricos como el | En ingeniería mecánica es frecuente plantear problemas elásticos para decidir la adecuación de un diseño. En ciertas situaciones de interés práctico no es necesario resolver el problema elástico completo sino que basta con plantear un modelo simplificado y aplicar los métodos de la [[resistencia de materiales]] para calcular aproximadamente tensiones y desplazamientos. Cuando la geometría involucrada en el diseño mecánico es compleja la resistencia de materiales suele ser insuficiente y la resolución exacta del problema elástico inabordable desde el punto de vista práctico. En esos casos se usan habitualmente métodos numéricos como el Método de los elementos finitos para resolver el problema elástico de manera aproximada. | ||
Un buen diseño normalmente incorpora unos requisitos de: | Un buen diseño normalmente incorpora unos requisitos de: | ||
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Una deformación elástica finita implica un cambio de forma de un cuerpo, debido a la condición de reversibilidad ese cambio de forma viene representado por un Difeomorfismo. Formalmente si <math>K\;\subset \R^3</math> representa la forma del cuerpo antes de deformarse y <math>K'\;\subset \R^3</math> la forma del cuerpo después de deformarse, la deformación viene dada por un difeomordismo: | Una deformación elástica finita implica un cambio de forma de un cuerpo, debido a la condición de reversibilidad ese cambio de forma viene representado por un Difeomorfismo. Formalmente si <math>K\;\subset \R^3</math> representa la forma del cuerpo antes de deformarse y <math>K'\;\subset \R^3</math> la forma del cuerpo después de deformarse, la deformación viene dada por un difeomordismo: | ||
{{Ecuación|<math>\begin{cases} | {{Ecuación|<math>\begin{cases} | ||
\mathbf{T_D}: K\subset \R^3 \rightarrow K'\subset \R^3 & \\ | |||
(X,Y,Z) \mapsto (x,y,z) & (x,y,z) = T_D(X,Y,Z) \end{cases}</math>||left}} | |||
El tensor deformación puede definirse a partir del gradiente de deformación <math>\mathbf{F}</math> que no es otra cosa que la matriz jacobiana de la transformación anterior: | El tensor deformación puede definirse a partir del gradiente de deformación <math>\mathbf{F}</math> que no es otra cosa que la matriz jacobiana de la transformación anterior: | ||
{{Ecuación|<math> \mathbf{F} = J\mathbf{T_D} = | {{Ecuación|<math> \mathbf{F} = J\mathbf{T_D} = | ||
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
\cfrac {\partial x}{\part X} & \cfrac {\partial x}{\part Y} & \cfrac {\partial x}{\part Z} \\ | |||
\cfrac {\partial y}{\part Y} & \cfrac {\partial y}{\part Y} & \cfrac {\partial y}{\part Z} \\ | |||
\cfrac {\partial z}{\part Z} & \cfrac {\partial z}{\part Y} & \cfrac {\partial z}{\part Z} \end{pmatrix} </math>||left}} | |||
Existen diversas representaciones alternativas según se escojan las coordenadas materiales iniciales sobre el cuerpo sin deformar (''X, Y, Z'') o las coordenadas sobre el cuerpo deformado (''x, y, z''): | Existen diversas representaciones alternativas según se escojan las coordenadas materiales iniciales sobre el cuerpo sin deformar (''X, Y, Z'') o las coordenadas sobre el cuerpo deformado (''x, y, z''): | ||
{{Ecuación|<math> \mathbf{D}_m(X,Y,Z) = \frac {1}{2}(\mathbf{F}^{T}\mathbf{F}-\mathbf{1}) \qquad \qquad | {{Ecuación|<math> \mathbf{D}_m(X,Y,Z) = \frac {1}{2}(\mathbf{F}^{T}\mathbf{F}-\mathbf{1}) \qquad \qquad | ||
\mathbf{D}_e(x,y,z) = \frac {1}{2}(\mathbf{1}-\mathbf{F}^{-T}\mathbf{F}^{-1}) | \mathbf{D}_e(x,y,z) = \frac {1}{2}(\mathbf{1}-\mathbf{F}^{-T}\mathbf{F}^{-1}) | ||
</math>||left}} | </math>||left}} | ||
{{ | {{Referencias}} | ||
{{W}} | {{W}} | ||
[[ | [[Carpeta:Propiedades de los materiales]] | ||
[[ | [[Carpeta:Resistencia de materiales]] | ||