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== Definición == | == Definición == | ||
Una '''esfera''' es la | Una '''esfera''' es la superficie formada por todos los puntos del [[espacio]] tales que la distancia (llamada ''radio'') a un punto determinado, denominado Centro, es siempre la misma. También se refiere al Sólido cuyo [[volumen]] se haya contenido en la superficie anterior; con este significado se emplea específicamente la palabra ''bola''. La esfera es la figura geométrica que para la misma cantidad de volumen presenta una superficie externa menor. Esta propiedad es la causa de su omnipresencia en el mundo físico: en la superficie de una gota de un líquido inmerso en un ambiente gaseoso o también líquido (pero con líquidos que no se pueden mezclar), existen fuerzas superficiales que desformaran la gota hasta encontrar el valor mínimo de tensión en todos los puntos de la misma, y este mínimo corresponde a una esfera, en ausencia de toda perturbación exterior. | ||
== Superficie y Volumen == | == Superficie y Volumen == | ||
La | La superficie de una esfera de radio, ''r'', es <font size=+2>'''S = 4·π·r<sup>2</sup>'''</font> | ||
El [[volumen]] de una esfera de radio, ''r'', es <font size=+2>'''V = 4·π·r<sup>3</sup>/3'''</font> | El [[volumen]] de una esfera de radio, ''r'', es <font size=+2>'''V = 4·π·r<sup>3</sup>/3'''</font> | ||
| Línea 15: | Línea 15: | ||
==Ecuación== | ==Ecuación== | ||
En un sistema de coordenadas ortonormado (ortogonal y unitario), la ecuación de la esfera unitaria (de radio 1) centrada en el origen es: | En un sistema de coordenadas ortonormado (ortogonal y unitario), la ecuación de la esfera unitaria (de radio 1) centrada en el origen es: | ||
<center>'''<font size=+2>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> + z<sup>2</sup> = 1</font>'''</center><br/> | <center>'''<font size=+2>x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> + z<sup>2</sup> = 1</font>'''</center><br/> | ||
| Línea 26: | Línea 25: | ||
==Secciones== | ==Secciones== | ||
[[Archivo:Sección de esfera por plano.png|sección de una esfera por un plano]] | [[Archivo:Sección de esfera por plano.png|sección de una esfera por un plano]] | ||
| Línea 32: | Línea 30: | ||
Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, ''r''. En este caso, la circunferencia puede llamarse '''ecuador''' o '''gran círculo'''. <br> | Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, ''r''. En este caso, la circunferencia puede llamarse '''ecuador''' o '''gran círculo'''. <br> | ||
Si la distancia ''d'' entre el plano y el centro es inferior al radio ''r'' de la esfera entonces el radio de la sección es, aplicando el Teorema de Pitágoras:<math>r' = \sqrt{r^2 - d^2}</math> | Si la distancia ''d'' entre el plano y el centro es inferior al radio ''r'' de la esfera entonces el radio de la sección es, aplicando el Teorema de Pitágoras:<math>r' = \sqrt{r^2 - d^2}</math> | ||
[[Archivo:Esferas secciones.png|right|intersección de esferas]] | [[Archivo:Esferas secciones.png|right|intersección de esferas]] | ||
Por otra parte dos esferas se intersecan si ''' d ≤ r + r'''' y '''|r - r'| ≤ d''' (son las desigualdades triangulares, y equivalen al que ningún lado es superior a la suma de los otros dos), es decir si existe un triángulo con lados que midan ''r'', ''r''' y ''d'', donde ''d'' es la distancia entre los centros de las esferas, ''r'' y ''r''' sus radios. | |||
En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las desigualdades anteriores es una igualdad, la intersección será un mero punto, que es una circunferencia de radio cero. | |||
Por otra parte dos esferas se intersecan si ''' d ≤ r + r'''' y '''|r - r'| ≤ d''' (son las desigualdades triangulares, y equivalen al que ningún lado es superior a la suma de los otros dos), es decir si existe un triángulo con lados que midan ''r'', ''r''' y ''d'', donde ''d'' es la distancia entre los centros de las esferas, ''r'' y ''r''' sus radios. | |||
En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las desigualdades anteriores es una igualdad, la intersección será un mero punto, que es una circunferencia de radio cero. | |||
En general, el radio es <font style="vertical-align:+0%;"><math>\frac 2 d \sqrt{m(m-r)(m-r')(m-d)} </math></font> con <font style="vertical-align:+0%;"><math> \quad m = \frac {r+r'+d} 2</math></font> el medio perímetro. | En general, el radio es <font style="vertical-align:+0%;"><math>\frac 2 d \sqrt{m(m-r)(m-r')(m-d)} </math></font> con <font style="vertical-align:+0%;"><math> \quad m = \frac {r+r'+d} 2</math></font> el medio perímetro. | ||
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==Localizarse sobre la esfera== | ==Localizarse sobre la esfera== | ||
Para localizar un punto sobre la esfera, las coordenadas cartesianas no son las mejores por varias razones: En primer lugar porque hay tres coordenadas cartesianas mientras que la esfera es un espacio bidimensional, en segundo lugar, tratándose de una esfera, el ángulo es un concepto más natural que las coordenadas rectangulares. <br/> | Para localizar un punto sobre la esfera, las coordenadas cartesianas no son las mejores por varias razones: En primer lugar porque hay tres coordenadas cartesianas mientras que la esfera es un espacio bidimensional, en segundo lugar, tratándose de una esfera, el ángulo es un concepto más natural que las coordenadas rectangulares. <br/> | ||
Se elige un ecuador y un punto I del mismo como origen de los ángulos, se escoge una orientación del ecuador para definir el signo del ángulo θ. Se escoge uno de los dos puntos de la esfera más distantes del ecuador (K en la figura) - llamados '''polos''' - para definir el signo del ángulo φ.<br/> | Se elige un ecuador y un punto I del mismo como origen de los ángulos, se escoge una orientación del ecuador para definir el signo del ángulo θ. Se escoge uno de los dos puntos de la esfera más distantes del ecuador (K en la figura) - llamados '''polos''' - para definir el signo del ángulo φ.<br/> | ||
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Introducir el tercer parámetro ''r'' = OM permite localizar cualquier punto del espacio con las '''coordenadas esféricas''' (r, φ, θ). Si se impone tomar φ en un [[Intervalo (matemáticas)|intervalo]] semiabierto de longitud 2π y θ en uno de longitud π entonces cualquier punto del espacio tiene coordenadas esféricas únicas salvo los del eje vertical (OZ) (donde cualquier valor de φ vale). | Introducir el tercer parámetro ''r'' = OM permite localizar cualquier punto del espacio con las '''coordenadas esféricas''' (r, φ, θ). Si se impone tomar φ en un [[Intervalo (matemáticas)|intervalo]] semiabierto de longitud 2π y θ en uno de longitud π entonces cualquier punto del espacio tiene coordenadas esféricas únicas salvo los del eje vertical (OZ) (donde cualquier valor de φ vale). | ||
Las coordenadas cartesianas (x, y, z) en el sistema de coordenadas (0, I, J, K) son dadas por:<br/> | Las coordenadas cartesianas (x, y, z) en el sistema de coordenadas (0, I, J, K) son dadas por:<br/> | ||
<center><math> \left\{ \begin{matrix} | <center><math> \left\{ \begin{matrix} | ||
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== Esferas en dimensiones superiores == | == Esferas en dimensiones superiores == | ||
Se generaliza sin problema la noción de esfera en espacios vectoriales de dimensiones superiores a tres. La definición sigue siendo que la esfera es el conjunto de los puntos equidistantes de un punto fijo, y en un sistema de coordenadas ortonormales, la ecuación de la esfera de radio uno centrada en el origen es: | Se generaliza sin problema la noción de esfera en espacios vectoriales de dimensiones superiores a tres. La definición sigue siendo que la esfera es el conjunto de los puntos equidistantes de un punto fijo, y en un sistema de coordenadas ortonormales, la ecuación de la esfera de radio uno centrada en el origen es: | ||
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== Esferas en otras métricas == | == Esferas en otras métricas == | ||
La noción de esfera se generaliza a cualquier Espacio métrico (E,d) así: la esfera de centro ''a'' y de radio ''r'' es el conjunto <div style="vertical-align:+10%;display:inline;"><math>S(a,r) = \{ x \in E, d(a,x) = r \} </math></div>, y la bola correspondiente es <div style="vertical-align:+10%;display:inline;"><math>B(a,r) = \{ x \in E, d(a,x) \le r \} </math></div>. | La noción de esfera se generaliza a cualquier Espacio métrico (E,d) así: la esfera de centro ''a'' y de radio ''r'' es el conjunto <div style="vertical-align:+10%;display:inline;"><math>S(a,r) = \{ x \in E, d(a,x) = r \} </math></div>, y la bola correspondiente es <div style="vertical-align:+10%;display:inline;"><math>B(a,r) = \{ x \in E, d(a,x) \le r \} </math></div>. | ||
| Línea 115: | Línea 106: | ||
:<div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>||\vec u||_3 = \sqrt[3]{|x|^3+ |y|^3 + |z|^3}</math></div>. S(0,1) es una especie de forma intermedia entre la esfera usual y el cubo (figura a la derecha). | :<div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>||\vec u||_3 = \sqrt[3]{|x|^3+ |y|^3 + |z|^3}</math></div>. S(0,1) es una especie de forma intermedia entre la esfera usual y el cubo (figura a la derecha). | ||
:<div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>||\vec u||_\infty = max(|x|,|y|,|z|)</math></div>. S(0,1) es un cubo. | :<div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>||\vec u||_\infty = max(|x|,|y|,|z|)</math></div>. S(0,1) es un cubo. | ||
{{Geometría}}{{EL}} | {{Geometría}}{{EL}} | ||