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| Línea 1: | Línea 1: | ||
Las '''coordenadas cartesianas''' son un [[sistema de coordenadas]] formadas por un eje en la recta, por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o '''rectangulares''' x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada. | {{+}}Las '''coordenadas cartesianas''' son un [[sistema de coordenadas]] formadas por un eje en la recta, por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o '''rectangulares''' x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada. | ||
''En adelante, las magnitudes vectoriales en negrita.'' | ''En adelante, las magnitudes vectoriales en negrita.'' | ||
== Sistema de coordenadas en la recta == | == Sistema de coordenadas en la recta == | ||
[[ | [[Archivo:Recta real.svg|600px|Sistema de coordenadas en la recta]] | ||
Corresponde a la dimensión uno, y que representaremos con el eje x, en este eje hay un centro de coordenadas, que representaremos con la letra '''O''' (de Origen), y un vector unitario en el sentido positivo de las x: <math>\vec{i}</math>. | Corresponde a la dimensión uno, y que representaremos con el eje x, en este eje hay un centro de coordenadas, que representaremos con la letra '''O''' (de Origen), y un vector unitario en el sentido positivo de las x: <math>\vec{i}</math>. | ||
| Línea 10: | Línea 10: | ||
Un punto cualquiera de la recta puede representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de '''O''', y negativo si esta a la izquierda. El centro de coordenadas '''O'''(letra O) corresponde al valor 0(cero). | Un punto cualquiera de la recta puede representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de '''O''', y negativo si esta a la izquierda. El centro de coordenadas '''O'''(letra O) corresponde al valor 0(cero). | ||
Este sistema de coordenadas es un | Este sistema de coordenadas es un Espacio vectorial de dimensión uno, y puede aplicarse todas las operaciones correspondientes espacios vectoriales, en ocasiones también se llama '''Recta real'''. | ||
Un punto: | Un punto: | ||
:<math>A= ({x_A}) \,</math> | :<math>A= ({x_A}) \,</math> | ||
La distancia entre dos punto '''A''' y '''B''' es: | La distancia entre dos punto '''A''' y '''B''' es: | ||
| Línea 25: | Línea 22: | ||
== Sistema de coordenadas plano == | == Sistema de coordenadas plano == | ||
[[ | [[Archivo:coordenadas cartesianas.png|frame|Sistema de coordenadas cartesianas]] | ||
Las '''ecuaciones''' de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, [[recta]]s que se cortan en el origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas. | Las '''ecuaciones''' de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, [[recta]]s que se cortan en el origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas. | ||
| Línea 31: | Línea 28: | ||
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las [[proyección|proyecciones]] del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes. | Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las [[proyección|proyecciones]] del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes. | ||
Sobre cada uno de los ejes se definen '''vectores unitarios''' ('''i''' y '''j''') como aquellos paralelos a los ejes y de | Sobre cada uno de los ejes se definen '''vectores unitarios''' ('''i''' y '''j''') como aquellos paralelos a los ejes y de Módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector '''OA'''. | ||
La posición del punto '''A''' será: | La posición del punto '''A''' será: | ||
| Línea 44: | Línea 39: | ||
:<math>d_{\overline{AB}} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \,</math> | :<math>d_{\overline{AB}} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \,</math> | ||
Aplicación del | Aplicación del Teorema de Pitágoras al [[triángulo]] rectángulo ABC. | ||
Un vector cualquiera '''AB''' se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino: | Un vector cualquiera '''AB''' se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino: | ||
| Línea 53: | Línea 48: | ||
== Sistema de coordenadas espacial == | == Sistema de coordenadas espacial == | ||
[[Archivo:coordenadas cartesianas espaciales.png|frame|coordenadas cartesianas espaciales]] | |||
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Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en 8 octantes en los que como en el caso anterior los signos de las componentes cambian de positivo a negativo; téngase en cuenta que con los cuatro casos del plano, ahora caben dos posibilidades z < 0 y z > 0. | Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en 8 octantes en los que como en el caso anterior los signos de las componentes cambian de positivo a negativo; téngase en cuenta que con los cuatro casos del plano, ahora caben dos posibilidades z < 0 y z > 0. | ||
La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto. | La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto. | ||
Las coordenadas del punto '''A''' serán: | Las coordenadas del punto '''A''' serán: | ||
| Línea 72: | Línea 64: | ||
== Cambio del sistema de coordenadas == | == Cambio del sistema de coordenadas == | ||
Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse dos transformaciones elementales: Traslación (del origen) y Rotación (alrededor de un eje). | Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse dos transformaciones elementales: Traslación (del origen) y Rotación (alrededor de un eje). | ||
=== Traslación del origen === | === Traslación del origen === | ||
[[ | [[Archivo:Traslación del origen en coordenadas cartesianas.png|frame|Traslación del origen en coordenadas cartesianas]] | ||
Suponiendo un sistema de coordenadas inicial '''S1''' con origen en '''O''' y ejes '''x''' e '''y''' | Suponiendo un sistema de coordenadas inicial '''S1''' con origen en '''O''' y ejes '''x''' e '''y''' | ||
| Línea 110: | Línea 101: | ||
=== Rotación alrededor del origen === | === Rotación alrededor del origen === | ||
[[ | [[Archivo:Rotación alrededor del origen en coordenadas cartesianas.png|frame|Rotación alrededor del origen en coordenadas cartesianas]] | ||
Dado un sistema de coordenadas en el plano '''S1''' con origen en '''O''' y ejes '''x''' e '''y''': | Dado un sistema de coordenadas en el plano '''S1''' con origen en '''O''' y ejes '''x''' e '''y''': | ||
| Línea 164: | Línea 155: | ||
== Calculo matricial == | == Calculo matricial == | ||
Siendo [T] la '''[[Matriz (matemática)|matriz]] de transformación''' y cuyas filas son precisamente las componentes de los vectores unitarios '''i''' ' y '''j''' ' respecto de los originales '''i''' y '''j''', o si se prefiere, cuyas columnas son las componentes de los vectores unitarios originales en el sistema de referencia rotado. | Siendo [T] la '''[[Matriz (matemática)|matriz]] de transformación''' y cuyas filas son precisamente las componentes de los vectores unitarios '''i''' ' y '''j''' ' respecto de los originales '''i''' y '''j''', o si se prefiere, cuyas columnas son las componentes de los vectores unitarios originales en el sistema de referencia rotado. | ||
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[[ | [[Archivo:matriz de transformación (rotación).png]]</center> | ||
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[[Carpeta:Sistemas de coordenadas]] | |||