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-[[Archivo:Generación elipsoide.png|right]]
+{{+}}[[Archivo:Generación elipsoide.png|right]]
 Un '''elipsoide de revolución''' es la superficie generada por una [[elipse]] que gira alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. A veces se le da el nombre de '''esferoide'''.
-En la figura a la derecha se presenta el caso de la elipse de ecuación  <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>\frac {\ x^2} 9 + \frac {\ y^2} 4 = 1</math></div> en el sistema de coordenadas  <div style="vertical-align:+20%;display:inline;"><math>(O, \vec i, \vec j)</math></div>, cuyos ejes de simetría son los del sistema,  <div style="vertical-align:+20%;display:inline;"><math> (O, \vec i) \mbox{ y } (O, \vec j)</math></div>.<br>
+En la figura a la derecha se presenta el caso de la elipse de ecuación <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>\frac {\ x^2} 9 + \frac {\ y^2} 4 = 1</math></div> en el sistema de coordenadas <div style="vertical-align:+20%;display:inline;"><math>(O, \vec i, \vec j)</math></div>, cuyos ejes de simetría son los del sistema, <div style="vertical-align:+20%;display:inline;"><math> (O, \vec i) \mbox{ y } (O, \vec j)</math></div>.<br>
-Si se gira alrededor del eje de las abscisas, se obtiene la superficie esbozada en rojo. La tercera coordenada, ''z'', tiene en este caso el mismo papel que ''y'', luego aparece en la misma forma en la ecuación del elipsoide:  <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>\frac {\ x^2} 9 + \frac {\ y^2} 4 + \frac {\ z^2} 4= 1</math></div> y, como ''y'', ''z'' varía entre -2 y 2. <br>
+Si se gira alrededor del eje de las abscisas, se obtiene la superficie esbozada en rojo. La tercera coordenada, ''z'', tiene en este caso el mismo papel que ''y'', luego aparece en la misma forma en la ecuación del elipsoide: <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>\frac {\ x^2} 9 + \frac {\ y^2} 4 + \frac {\ z^2} 4= 1</math></div> y, como ''y'', ''z'' varía entre -2 y 2. <br>
-Si se gira alrededor del eje de las ordenadas, se obtiene la superficie bosquejada en azul, y ''z'' tiene el mismo papel que ''x'', luego la ecuación es:  <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>\frac {\ x^2} 9 + \frac {\ y^2} 4 + \frac {\ z^2} 9= 1</math></div> y, como ''x'', ''z'' varía entre -3 y 3. Por tanto las superficies no son idénticas, la en azul tiene mayor «espesor», como se puede adivinar en la figura anterior.
+Si se gira alrededor del eje de las ordenadas, se obtiene la superficie bosquejada en azul, y ''z'' tiene el mismo papel que ''x'', luego la ecuación es: <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>\frac {\ x^2} 9 + \frac {\ y^2} 4 + \frac {\ z^2} 9= 1</math></div> y, como ''x'', ''z'' varía entre -3 y 3. Por tanto las superficies no son idénticas, la en azul tiene mayor «espesor», como se puede adivinar en la figura anterior.
 [[Archivo:Elipsoide de revolución pelota rugby.png|left]]
 [[Archivo:Elipsoide de revolución canto rodado.png|right]]
 Se han representado las dos superficies - a la izquierda la de tipo «pelota de rugby» (correspondiente al esbozo en rojo) y a la derecha la del tipo «[[canto rodado]]» (esbozo en azul) - aumentando sus diferencias tomando la longitud igual a dos veces la anchura.
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 Las constantes a, b y c son los las longitudes de los semiejes del elipsoide (ver figura, donde a&nbsp;=&nbsp;2, b&nbsp;=&nbsp;3 y c&nbsp;=&nbsp;1) lo que se justifica al observar que los puntos A(a,&nbsp;0&nbsp;,0), A'(-a,&nbsp;0,&nbsp;0), B(0,&nbsp;b,&nbsp;0), B'(0,&nbsp;-b,&nbsp;0), C(0,&nbsp;0,&nbsp;c) y C'(0,&nbsp;0,&nbsp;-c) pertenecen a la superficie porque son soluciones obvias de su ecuación.<br>
 Cuando dos de las tres constantes son iguales se trata de un esferoide, y cuando ''a&nbsp;=&nbsp;b&nbsp;=&nbsp;c'', de una [[esfera]] de radio ''a''.
 El elipsoide se define por ser una [[cuádrica]] acotada en el espacio, o, empleando la terminología del espacio proyectivo, por no tener punto infinito.
 El elipsoide anterior se obtiene ''estirando'' la [[esfera]] unitaria de ecuación <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>x^2 + y^2 + z^2 = 1 \ </math></div> por un factor ''a'' en la dirección de las abscisas (es decir aplicando la trasformación x&rarr;ax) , por un factor ''b'' en las ordenadas (aplicando y&rarr;by) y ''c'' en las ''z'' (con z&rarr;cz). Estas tres trasformaciones sucesivas multiplican los volúmenes por a&middot;b&middot;c, por tanto, conociendo el volumen de la esfera unitaria <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>V = \frac{4\pi} 3</math></div>, se obtiene lo siguiente:
@@ Línea 36: / Línea 32: @@
 z & = & c \cdot \mbox{sen }\theta
 \end{matrix} \right.
-\qquad \mbox{con }- \frac {\pi} 2 < \theta \le  \frac {\pi} 2 ,\ \ \mbox{  y  } \ \  -\pi < \phi \le  \pi
+\qquad \mbox{con }- \frac {\pi} 2 < \theta \le \frac {\pi} 2 ,\ \ \mbox{ y } \ \ -\pi < \phi \le \pi
 </math></center>
 Nótese que &theta; y &Phi; no corresponden a ángulos geométricos en el elipsoide mismo sino en la esfera unitaria porque la trasformación
 (x,&nbsp;y,&nbsp;z)&nbsp;&rarr;(a&middot;x,&nbsp;b&middot;y,&nbsp;c&middot;z) desforma los ángulos.
 No existe una fórmula sencilla para calcular la superficie de un elipsoide; en el caso del elipsoide de revolución se puede expresarla mediante las bien llamadas ''integrales elípticas''.
-{{Geometría}}{{EL}}
+{{Geometría}}
+{{EL}}