Diferencia entre revisiones de «Regla y compás»

Los problemas más famosos que se propusieron para su resolución "con regla y compás" son la proverbial Cuadratura del círculo, la Duplicación del cubo y la Trisección del ángulo, a los que a veces se añade la '''construcción del heptágono regular''', el primero de los infinitos polígonos regulares imposibles de crear con regla y compás. Tienen en común ser de resolución imposible: está matemáticamente demostrado que no se puede cuadrar el círculo, ni duplicar el cubo, ni trisecar el ángulo, ni trazar un heptágono regular usando exclusivamente la regla y el compás idealizados de la geometría griega.  

* '''Cuadratura del círculo''': Se trata de dibujar un cuadrado que tenga la misma superficie que un círculo dado. Se aporta como dato de partida el círculo a cuadrar (su centro y uno de los puntos de su circunferencia), y se considera resuelto el problema cuando consigue trazarse el segmento de recta que es un lado del cuadrado que iguala el área de dicho círculo.

* '''Duplicación del cubo''': Ha de dibujarse el lado de un cubo cuyo volumen duplique al de otro cubo del que se da el lado como dato de partida.

* '''Trisección del ángulo''': Debe dividirse un ángulo dado en tres ángulos más pequeños, los tres del mismo tamaño, cuya suma sea igual al ángulo dado. Se aporta como dato el ángulo a trisecar (las dos rectas que lo forman, o puntos que permitan trazarlas) y se consideraría resuelto el problema cuando se traza un ángulo cuya apertura es un tercio de la del ángulo dado.

Como se ha visto, las únicas formas de construir puntos nuevos es como intersección de dos rectas, o de una recta y una circunferencia, o de dos circunferencias. Usando las ecuaciones de las rectas y de las circunferencias, puede demostrarse que los puntos en los que se intersectan yacen en una extensión cuadrática del cuerpo más pequeño, ''F'', que contenga dos puntos en la recta, el centro del círculo, y el radio del círculo. Es decir, que los puntos con intersección son de la forma <math>x+y\sqrt{k}</math>, donde <math>x</math>, <math>y</math> y <math>k</math> están en ''F''.

Hay una Biyección entre los ángulos construibles y los puntos que son construibles en cualquier circunferencia construible.  Los ángulos construibles forman un [[grupo (matemática)|grupo abeliano]] bajo la suma-módulo <math>2\pi\;</math> (que se corresponde con la multiplicación de los puntos sobre la circunferencia unitaria, considerados como números complejos). Los ángulos construibles son exactamente aquellos cuya tangente (o equivalentemente, su seno o su coseno) es un número construible. Por ejemplo, el heptadecágono regular (polígono de 17 lados iguales) es construible porque...

como descubrió Gauss.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi17.html coseno de pi/17 en MathWorld, Wolfram]</ref>

El grupo de los ángulos construibles es cerrado bajo la operación que biseca los ángulos (que se corresponde con la obtención de raíces cuadradas). Los únicos ángulos de orden finito que pueden construirse empezando con dos puntos son aquellos cuyo orden es el producto de una potencia de 2 por un elemento de un conjunto de diversos números primos de Fermat. Además, hay un conjunto denso de ángulos construibles de orden infinito.

Dado un conjunto de puntos en el Plano euclídeo, basta seleccionar cualquiera de ellos para llamarlo '''0''' y cualquier otro para llamarlo '''1''', y elegir arbitrariamente una [[orientación]], para poder considerar los puntos como un conjunto de Números complejos

La ''duplicación del cubo'' y la ''trisección del ángulo'' requieren ratios que son solución de ecuaciones cúbicas, en tanto que la ''cuadratura del círculo'' requiere un ratio trascendente. Ninguno de esos casos forma parte de los cuerpos antes descritos, y por tanto no existe construcción con regla y compás para estos problemas. Una excepción, en el caso de la trisección del ángulo, se da con ángulos especiales como cualquier <math>\phi\;</math> tal que <math>\frac{\phi}{6\pi}\;</math> sea un Número racional que tenga como Denominador el producto de una potencia de dos y de  distintos números primos de Fermat.

El más famoso de los problemas griegos, la ''Cuadratura del círculo'' plantea la construcción de un cuadrado cuya superficie sea la misma de la un [[círculo]] dado; y, por supuesto, resuelto con ''regla y compás''.

Se ha demostrado que cuadrar el círculo de esta forma es imposible, dado que implica encontrar un Número trascendente, a saber <math>1\over{\sqrt{\pi}}</math>. Usando regla y compás sólo es posible generar números algebraicos. La frase "cuadratura del círculo" o "cuadrar el círculo" se usa frecuentemente con el sentido de "hacer algo imposible". Con gran fortuna, puesto que es tan imposible como obtener algo distinto de cuatro sumando dos más dos, o dibujar en el plano euclídeo un triángulo que tenga los tres ángulos obtusos.

Duplicar el cubo consiste en construir el lado de un cubo que tenga el doble de volumen que otro cubo cuyo lado se da como dato del problema. Por supuesto, debe hacerse con regla y compás. Es imposible, porque la raíz cúbica de 2, pese a ser un número algebraico, no puede  obtenerse de los números enteros por suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas, que son las únicas operaciones que pueden hacerse con regla y compás. Esto es así porque el Polinomio mínimo de la raíz cúbica de 2 sobre los racionales tiene grado&nbsp;3. Basta con que se permita utilizar una regla con dos marcas y un compás para que sea posible duplicar el cubo.

Partiendo de un ángulo dado, trisecarlo significa construir un ángulo que mida justo un tercio del ángulo dado. Se demuestra que ello requiere obtener la raíz cúbica de un número complejo cualquiera, con Valor absoluto&nbsp;1. Resulta imposible hacerlo sólo con regla y compás.

Usando la Identidad trigonométrica  

Si ese polinomio pudiera reducirse a grado 2, tendría una raíz racional, que por el Teorema de la raíz racional, debería ser  1 o −1, que evidentemente no son raíces. Por lo tanto, el Polinomio mínimo para cos&nbsp;20° es de grado&nbsp;3, de modo que cos&nbsp;20° no es construible y por tanto el ángulo de 60° no puede ser trisecado.

La trisección del ángulo, como muchas otras construcciones imposibles con regla y compás, puede llevarse a cabo fácilmente con el sistema más potente, aunque físicamente sea muy sencillo, de papeles doblados denominado Origami. Los Axiomas de Huzita (tipos de operaciones de doblado) permiten construir extensiones cúbicas (raíces cúbicas) de longitudes dadas, en tanto que con regla y compás sólo pueden construirse extensiones cuadráticas (raíces cuadradas). Ver Matemáticas de la papiroflexia

El primer avance relevante para resolver este problema se debe a Gauss, que mostró en [[1796]] que un polígono regular de ''n'' lados puede construirse con regla y compás siempre que los factores primos impares de ''n'' sean primos de Fermat distintos. Gauss conjeturó que esta condición debía ser también necesaria, pero no aportó una demostración de este hecho, que fue lograda por Pierre Wantzel en [[1837]].  

Comencemos con {(0,0),(1,0)}, sabemos que los vértices del polígono serán las raíces de la unidad, es decir son raíces de <math>x^{p^2}-1=0</math> este polinomio es reducible, <math>x^{p^2}-1=(x-1)(\frac{x^p-1}{x-1})(\varphi_{p^2}(x))</math> con <math>\varphi_n(x)=\prod_{k=1}^n(x-\chi_k)</math> con <math>\chi_k=e^{2\pi ik/n},k=0,1,2...n-1</math>.

El polinomio irreducible con esta ra\'iz tiene grado <math>\phi(p^2)=p(p-1)</math> con <math>\phi</math> es la Función phi de Euler. Luego la torre es <math>\mathbb{Q}(i)\in\mathbb{Q}(i,v_1)</math> donde <math>v_1</math> es nuestro segundo vértice, se ve entonces que la extensión tiene grado divisible por <math>p</math>, para que sea construible debe ser divisible por 2, luego <math>p^2</math> es construible si y sólo si <math>p=2</math>

Como antes se tiene que el Polinomio ciclotómico tiene grado <math>p-1</math> y esto ha de ser una potencia de dos, luego ya está.

Es posible, de acuerdo con el Teorema de Mohr-Mascheroni, obtener sólo con compás cualquier construcción  que pueda hacerse con regla y compás (excepto el hecho de trazar una recta). Es imposible obtener una raíz cuadrada sólo con regla, de modo que muchas construcciones factibles con compás no lo son con regla. Pero el Teorema de Poncelet-Steiner demuestra que basta con disponer previamente de un único círculo y su punto central para que todo lo construible con compás lo sea también sólo con regla (y el círculo y su centro previamente trazados).

Arquímedes y Apolonio de Pérgamo realizaron construcciones con "regla marcable", una regla en la que se puedan dibujar rayas para guardar memoria exacta de distancias. Esto les permitía, por ejemplo, partir de un segmento de recta, dos rectas (o círculos) y un punto, y trazar una nueva recta que pasara por el punto dado e intersectara a las dos rectas iniciales, de modo que la distancia entre los puntos de intersección igualara la longitud del segmento dado. Esta construcción, llamada ''Neusis'' (''inclinación'', ''tendencia''), crea un segmento de recta de tamaño prefijado, que cumple la condición de tocar en sus extremos las dos rectas dadas, y además pasa por el punto dado, al que suele llamarse "polo".

Esto extendió la geometría más allá de los ''Elementos'' de Euclides. Euclides no tenía ningún axioma, ni podía demostrar ningún teorema, que mostrara siquiera la existencia de la ''neusis'', de modo que no podía usarla en las construcciones. En esta geometría expandida, cualquier distancia cuya razón a una distancia dada sea la solución de una ecuación cúbica o cuártica es construíble. De manera que si se permite usar reglas marcables, y como consecuencia se permite la neusis, la trisección del ángulo<ref>ver [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/archi.shtml Archimedes' trisection], en inglés</ref> y la duplicación del cubo pueden conseguirse. La cuadratura del círculo, en cambio, sigue siendo imposible. Algunos polígonos regulares no construibles con regla y compás clásicos, como el Heptágono, lo son con regla marcable.<ref>[[:en:John H. Conway|John H. Conway]]  ha aportado construcciones de algunos. Conway, John H. and Richard Guy: ''The Book of Numbers''</ref> Con ''neusis'' y todo, sin embargo, sigue siendo imposible construir muchos (de hecho, infinitos) polígonos regulares, empezando por el de once lados (endecágono).

De modo similar, la teoría matemática del Origami, o papiroflexia sin ningún instrumento, sólo hojas de papel, resulta más potente que la regla y compás clásicos. Igual que la regla marcable, el origami permite resolver ecuaciones cúbicas, lo que a su vez abre la resolución de cuárticas, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. Se ha demostrado que los puntos construibles por papiroflexia son exactamente los mismas que con regla marcable y compás; en particular, tampoco el origami permite resolver la cuadratura del círculo.

En términos abstractos, el uso de estas herramientas más potentes, ya sea la ''neusis'' de la regla marcable o el ''origami'' o papiroflexia, extienden el cuerpo de los números construíbles a un subcuerpo más amplio de los números complejos, que no sólo contiene la raíz cuadrada, sino también la Raíz cúbica de cualquier elemento (Como siempre, podemos evitar la ambigüedad sobre ''de qué raíz cúbica estamos hablando'' quedándonos sólo con los argumentos complejos menores que <math>\frac{2\pi}{3}</math>, para que haya una sola). Las fórmulas aritméticas de los puntos construíbles que hemos descrito más [[#Puntos y longitudes construibles|arriba]] tienen sus análogas en este cuerpo extendido, permitiendo ahora fórmulas que incluyen también raíces cúbicas.  

Simon Plouffe ha escrito un artículo en el que muestra cómo la regla y el compás pueden usarse como una sencilla computadora, dotada de insospechada potencia de cálculo.<ref>Simon Plouffe. "The Computation of Certain Numbers Using a Ruler and Compass." ''Journal of Integer Sequences'', Vol. 1 (1998), Article 98.1.3.</ref>