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Diferencia entre revisiones de «Alabeo seccional»
clean up, replaced: deformaciones → deformaciones
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(clean up, replaced: deformaciones → deformaciones) |
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| Línea 16: | Línea 16: | ||
\begin{Bmatrix} \cfrac{d\theta_x}{ds}\\ \theta_x \end{Bmatrix} | \begin{Bmatrix} \cfrac{d\theta_x}{ds}\\ \theta_x \end{Bmatrix} | ||
</math>|2|left}} | </math>|2|left}} | ||
Calculando a partir de ellos las | Calculando a partir de ellos las deformaciones y aplicando después las [[Ley de elasticidad de Hooke|ecuaciones de Lamé-Hooke]] se llega a que la relación entre tensiones y giros sobre el eje son: | ||
{{Ecuación|<math>\begin{cases} | {{Ecuación|<math>\begin{cases} | ||
\sigma_{xx} = \frac{2G}{(1-2\nu)} \left[(1-\nu)\varepsilon_{xx}+\nu (\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}) \right] = 0\\ | \sigma_{xx} = \frac{2G}{(1-2\nu)} \left[(1-\nu)\varepsilon_{xx}+\nu (\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}) \right] = 0\\ | ||
| Línea 28: | Línea 28: | ||
== Solución para la ecuación de alabeo unitario == | == Solución para la ecuación de alabeo unitario == | ||
Puede demostrarse que la solución de la anterior ecuación puede encontrarse fácilmente introduciendo una función de alabeo auxiliar relacionada con la anterior y con las coordenadas (''y<sub>C</sub>, z<sub>C</sub>'') del centro de cortante. La función auxiliar <math>\omega_0(x,y)\;</math> satisface la ecuación:<ref>Monleón Cremades, 1999, apéndice B, p.</ref> | Puede demostrarse que la solución de la anterior ecuación puede encontrarse fácilmente introduciendo una función de alabeo auxiliar relacionada con la anterior y con las coordenadas (''y<sub>C</sub>, z<sub>C</sub>'') del centro de cortante. La función auxiliar <math>\omega_0(x,y)\;</math> satisface la ecuación:<ref name="Monleón Cremades 1999">Monleón Cremades, 1999, apéndice B, p.</ref> | ||
{{Ecuación|<math>\begin{cases} \cfrac{\partial^2\omega_0}{\partial y^2}+ \cfrac{\partial^2\omega_0}{\partial z^2} = 0 & \forall(y,z)\in A \\ | {{Ecuación|<math>\begin{cases} \cfrac{\partial^2\omega_0}{\partial y^2}+ \cfrac{\partial^2\omega_0}{\partial z^2} = 0 & \forall(y,z)\in A \\ | ||
\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\nabla}\omega_0 = \cfrac{1}{2}\cfrac{d}{d\bar{s}} \left(y^2+z^2 \right) & \forall(y,z)\in \partial A \end{cases}</math>||left}} | \mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\nabla}\omega_0 = \cfrac{1}{2}\cfrac{d}{d\bar{s}} \left(y^2+z^2 \right) & \forall(y,z)\in \partial A \end{cases}</math>||left}} | ||
En términos de esta función auxiliar se pueden encontrar tanto la función de alabeo como las coordenadas del centro de cortante:<ref | En términos de esta función auxiliar se pueden encontrar tanto la función de alabeo como las coordenadas del centro de cortante:<ref name="Monleón Cremades 1999"/> | ||
{{Ecuación|<math>\omega(y,z) = \omega_0(y,z) - z_Cy + y_Cz \qquad y_C = \frac{I_zI_{y\bar\omega}-I_{yz} I_{z\bar\omega}}{I_zI_y-I_{yz}^2} \qquad z_C = \frac{I_yI_{z\bar\omega}-I_{yz}I_{y\bar\omega}}{I_zI_y-I_{yz}^2} </math>||left}} | {{Ecuación|<math>\omega(y,z) = \omega_0(y,z) - z_Cy + y_Cz \qquad y_C = \frac{I_zI_{y\bar\omega}-I_{yz} I_{z\bar\omega}}{I_zI_y-I_{yz}^2} \qquad z_C = \frac{I_yI_{z\bar\omega}-I_{yz}I_{y\bar\omega}}{I_zI_y-I_{yz}^2} </math>||left}} | ||
Donde <math>I_y, I_z, I_{yz} \,</math> son los [[Segundo momento de área#Momentos de inercia principales|momentos de área y el producto de inercia]]. Y donde <math>I_{y\bar\omega}, I_{z\bar\omega} \,</math> son los '''productos de inercia sectoriales''' definidos como:{{Ecuación|<math>I_{y\bar\omega} = \int_A z\omega_0(y,z)\ dydz \qquad I_{z\bar\omega}=\int_A y\omega_0(y,z)\ dydz</math>||left}} | Donde <math>I_y, I_z, I_{yz} \,</math> son los [[Segundo momento de área#Momentos de inercia principales|momentos de área y el producto de inercia]]. Y donde <math>I_{y\bar\omega}, I_{z\bar\omega} \,</math> son los '''productos de inercia sectoriales''' definidos como:{{Ecuación|<math>I_{y\bar\omega} = \int_A z\omega_0(y,z)\ dydz \qquad I_{z\bar\omega}=\int_A y\omega_0(y,z)\ dydz</math>||left}} | ||