Diferencia entre revisiones de «Número áureo»

| colspan="2" align="center" | [[Anexo:números|Números]]<br />[[constante de Euler-Mascheroni|γ]] - [[Constante de Apéry|ζ(3)]] - [[Raíz de 2|√2]] - [[Raíz de 3|√3]] - [[Raíz de 5|√5]] - [[Número áureo|φ]] - [[constantes de Feigenbaum|α]] - [[Número e|e]] - [[Número π|π]] - [[constantes de Feigenbaum|δ]]

*El número áureo <math>\frac{\sqrt{5} + 1}{2}</math> es la unidad fundamental «ε» del [[cuerpo]] <math>\mathbb{R}\left(\sqrt{5}\right)</math> y la sección áurea <math>\frac{\sqrt{5} - 1}{2}</math> es su inversa, «<math>\varepsilon^{-1}</math>». En esta extensión el «emblemático» número irracional <math>\sqrt{2}</math> cumple las siguientes igualdades:

*Leonardo de Pisa  ([[Fibonacci]]), en su ''Libro de los ábacos'' (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para  calcular el número de pares de conejos ''n'' meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la parición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteo recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático . El cociente de dos términos sucesivos de la [[Sucesión de Fibonacci]] tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda [[recurrente|sucesión recurrente]] de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.<ref name = "Vorobiov1974"> {{Cite book | title = Números de Fibonacci | date = 1974 | publisher = Editorial Mir, Moscú, rústica, 112 páginas |author = N. N. Vorobiov; traducción de Carlos vega}} </ref>

*La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier [[caracol]] (no sólo del [[nautilus]]) Hay por lo menos tres espirales logarítmicas en las que se puede encontrar de alguna manera al número áureo. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento.<ref name = "Matila Ghyka1953"> {{Cite book | title = Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes | date = 1953 | publisher = Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo V: "Del Crecimiento Armonioso", páginas 118 a 144 | author = [[Matila Ghyka]]}}</ref><ref name = "D'Arcy Thompson1917"> {{Cite book | title = "On Growth and Form" | date = 1917 | publisher = Cambridge University Press | author = [[D'Arcy Wentworth Thompson]]}}  

*Relaciones en la forma de la [[Gran Pirámide]] de [[Gizeh]]. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo <math>\left(\ 1,\;\sqrt{\frac{\sqrt{5} + 1}{2}},\;\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\right)</math>, donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice inexistente y el número áureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por los matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver referencias), cuenta con el testimonio histórico de Heródoto y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción de semejante tamaño deba contener errores inevitables a toda obra arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la práctica puede manejar únicamente números racionales. Los demás investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de sentido matemático. No obstante, en base a mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades.

*La relación entre las partes, el techo y las columnas del [[Partenón]], en [[Atenas]] ([[s. VI a. C.|s.&nbsp;V&nbsp;a.&nbsp;C.]]).Durante el primer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Universidad de Yale, se inspiró en un pasaje del [[Theeteto]] de Platón para estudiar las proporciones relativas de las superficies, algo muy natural cuando se trata de obras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejantes se distinguen entre sí por el cociente de su lado mayor por el menor, número que basta para caracterizar a estas figuras y que denominó módulo del rectángulo. Un cuadrado tiene módulo 1 y el doble cuadrado módulo 2. Aquellos rectángulos cuyos módulos son números enteros o racionales fueron denominados "estáticos" y los que poseen módulos irracionales euclidianos, o sea, expresables algebraicamente como raíces de ecuaciones cuadráticas o reducibles a ellas, "dinámicos". El doble cuadrado es a la vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elemental es aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadrada de 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulo la raíz cuadrada de 5.<ref name = "Jay Hambidge1920"> {{Cite book | title = "Dynamic Symmetry The Greek Vase" |date = 1920; 1930; 1931 | publisher = Yale University Press, New Haven | author = [[Jay Hambidge]]}}

{{Cite book | title = Dynamic Symmetry The greek vase | date = 22/08/2007 | publisher = Rough Draf Printing | author = Jay Hambidge | id = ISBN 978-1-60386-037-6}}</ref> Posteriormente Hambidge estudió a los monumentos y templos griegos y llegó a encuadrar el frontón del Partenón en un rectángulo de módulo <math> \frac {4\Phi  - 2}{\Phi  + 1}</math>. Por medio de cuatro diagonales suministra las principales proporciones verticales y horizontales. Este rectángulo es descompuesto en seis de módulo <math> \sqrt {5}</math> y cuatro cuadrados.<ref name = "Jay Hambidge1924"> {{Cite book | title = "The Parthenon and Other Greek temples, their Dynamic Symmetry" | date = 1924 | publisher = Yale University Press, New haven. Hay todavía disponibles ejemplares de esa edición, tanto nuevos como usados y a la venta a aproximadamente $ (USA) 250 | author = Jay Hambidge}}</ref> Como dato adicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se vería más ancho arriba que en la base, sus columnas se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fundamenta el techo sobre las columnas se vería como una especie de [[catenaria]], con los extremos del edificio aparentemente más altos que el centro. Los constructores hicieron la construcción compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores,en ambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que están en el medio tienen una inclinación de 2,61 segundos de arco. La línea que formarían los dinteles entre columnas y que constituye la base del triángulo que corona el edificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos de arco con el vértice más elevado que los extremos. De esta forma, y con otras correcciones que no se mencionan aquí, se logra que cualquier observador que se sitúe en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.<ref name = "Banister"> {{Cite book | title = "A History of Architecture" | publisher = B. T. Basford, Londres | author = Banister; Fletcher}}</ref>

*En la pág. 61 de la novela de [[Dan Brown]] ''[[El código Da Vinci]]'' aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de [[Sucesión de Fibonacci|Fibonacci]] (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre, Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones de este número ''fi'' (1,618) en la naturaleza.