Sistema de coordenadas cartesianas

Sistema de coordenadas formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada.

En adelante, las magnitudes vectoriales en negrita.

Sistema de coordenadas plano

Sistema de coordenadas catesianas o rectangulares.

Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, rectas que se cortan en el origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas.

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.

Sobre cada uno de los ejes se definen Vectores unitarios, ${\vec {i}}$ y ${\vec {j}}$, como aquellos paralelos a los ejes y de Módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector ${\vec {OA}}$.

${\vec {OA}}=x_{A}\cdot {\vec {i}}+y_{A}\cdot {\vec {j}}\equiv (x_{A},y_{A})=A$

Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las componentes de un vector en notación matricial.

La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:

$d_{AB}={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}$

aplicación del Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.

Un vector cualquiera ${\vec {AB}}$ se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:

${\vec {AB}}=(x_{B}-x_{A})\cdot {\vec {i}}+(y_{B}-y_{A})\cdot {\vec {j}}$

Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia d_AB entre los puntos A y B antes calculada.

Sistema de coordenadas espacial

Sistema de coordenadas catesianas espaciales.

Los planos de referencia XY (z=0) XZ (y=0) e YZ (x=0) dividen el espacio en 8 octantes en los que como en el caso anterior los signos de las componentes cambian de positivo a negativo; téngase en cuenta que con los cuatro casos del plano, ahora caben dos posibilidades z<0 y z>0.

La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.

${\vec {OA}}=x_{A}\cdot {\vec {i}}+y_{A}\cdot {\vec {j}}+z_{A}\cdot {\vec {k}}\equiv (x_{A},y_{A},z_{A})=A$

$d_{AB}={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}}$

${\vec {AB}}=(x_{B}-x_{A})\cdot {\vec {i}}+(y_{B}-y_{A})\cdot {\vec {j}}+(z_{B}-z_{A})\cdot {\vec {k}}$

Cambio del sistema de coordenadas

Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse dos transformaciones elementales: Traslación (del origen) y Rotación (alrededor de un eje).

Traslación del origen

Traslación del origen del sistema de coordenadas.

Suponiendo que en el sistema de coordenadas inicial con origen en O las coordenadas de un punto como el A sean (x_A, y_A), y que el origen se traslade a O' (x_O, y_O); las coordenadas del punto A, respecto del sistema trasladado serán:

${\vec {OA}}={\vec {OO'}}+{\vec {O'A}}$

despejando

${\vec {O'A}}={\vec {OA}}-{\vec {OO'}}=(x_{A},y_{A})-(x_{O},y_{O})$

${\vec {O'A}}=(x_{A}-x_{O},y_{A}-y_{O})$

por tanto

$x'_{A}=x_{A}-x_{O}$

$y'_{A}=y_{A}-y_{O}$

$z'_{A}=z_{A}-z_{O}$ (en el caso espacial)

Rotación alrededor del origen

Rotación del sistema de referencia alrededor del origen.

Supongamos ahora, que el nuevo sistema de coordenadas, ejes x' e y', resulta del giro del primitivo (x,y) un cierto ángulo α alrededor del origen de coordenadas.

Dado que los triángulos rectángulos sombreados son semejantes, a partir de las relaciones trigronométricas entre sus lados, fácilmente podemos obtener las nuevas coordenadas:

Del triángulo Ox'_A1

x'_A = 01 · cos α = (x_A + x_A1) · cos α

Del triángulo Ax_A1

x_A1 = y_A · tg α

Sustituyendo en la primera ecuación:

x'_A = (x_A + y_A · tg α) · cos α = x_A · cos α + y_A · sen α

Operando de forma análoga con los triángulos 0y'_A2 y Ay_A2, obtendríamos, como fácilmente se puede demostrar:

y'_A = - x_A · sen α + y_A · cos α

Expresando matricialmente el cambio de coordenadas:

{OA'} = [T] {OA}

Siendo [T] la Matriz de transformación y cuyas filas son precisamente las componentes de los vectores unitarios ${\vec {i'}}$ y ${\vec {j'}}$ respecto de los originales ${\vec {i}}$ y ${\vec {j}}$, o si se prefiere, cuyas columnas son las componentes de los vectores unitarios originales en el sistema de referencia rotado.

$\left.{\begin{matrix}{\vec {i'}}=\cos \alpha \ {\vec {i}}+\sin \alpha \ {\vec {j}}\\{\vec {j'}}=-\sin \alpha \ {\vec {i}}+\cos \alpha \ {\vec {j}}\end{matrix}}\right\}\to {\begin{Bmatrix}{\vec {i'}}\\{\vec {j'}}\end{Bmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}\cdot {\begin{Bmatrix}{\vec {i}}\\{\vec {j}}\end{Bmatrix}}$