Coordenadas cilíndricas

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Coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la Geometría analítica plana.

Un punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z} ), donde:

• ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z} , o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle XY}
• φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} la proyección del radiovector sobre el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle XY} .
• Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z} : Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle XY} .

Los rangos de variación de las tres coordenadas son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0\leq \rho <\infty\qquad 0\leq \varphi< 2\pi\qquad -\infty< z < \infty }

La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cartesianas

Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, estas son:

• Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Z} .
• Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.
• Líneas coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z} : Rectas verticales

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

• Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.
• Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.
• Superficies Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z} =cte.: Planos horizontales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{\rho} = \cos\varphi\,\hat{x} + {\rm sen}\,\varphi\,\hat{y} }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{\varphi} = -{\rm sen}\varphi\,\hat{x} + \cos\,\varphi\,\hat{y} }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{z} = \hat{z} }

e inversamente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{x} = \cos\varphi\,\hat{\rho} - {\rm sen}\,\varphi\,\hat{\varphi} }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{y} = {\rm sen}\varphi\,\hat{\rho} + \cos\,\varphi\,\hat{\varphi} }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{z} = \hat{z} }

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h_\rho = 1 \qquad h_\varphi = \rho \qquad h_z = 1 }

Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec r = \rho\,\hat{\rho} + z\,\hat{z} }

Nótese que no aparece un término Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi\,\hat{\varphi}} . La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.

Diferenciales de línea, superficie y volumen

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d\vec r = h_\rho\,d\rho\,\hat{\rho}+h_\varphi\,d\varphi\,\hat{\varphi}+h_z\,dz\,\hat{z} =d\rho\,\hat{\rho}+\rho\,d\varphi\,\hat{\varphi}+dz\,\hat{z} }

Diferenciales de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada.

Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q_3={\rm cte.}} el resultado es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d\vec S_{q_3={\rm cte}} = h_1\,h_2\,dq_1\,dq_2\,\hat{q}_3 }

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son

• ρ=cte: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d\vec S_{\rho={\rm cte}} = \rho\,d\varphi\,dz\,\hat{\rho}}
• φ=cte: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d\vec S_{\varphi={\rm cte}} = d\rho\,dz\,\hat{\varphi}}
• z=cte: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d\vec S_{z={\rm cte}} = \rho\,d\rho\,d\varphi\,\hat{z}}

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del Jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dV = h_1\,h_2\,h_3\,dq_1\,dq_2\,dq_3 }

que para coordenadas cilíndricas da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dV = \rho\,d\rho\,d\varphi\,dz }

Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas

El gradiente, la Divergencia, el Rotacional y el Laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Estas son:

• Gradiente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial \rho}\hat{\rho} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}+ \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{z} }

• Divergencia

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \nabla\cdot\vec F = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho F_\rho)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial(F_\varphi)}{\partial \varphi} + \frac{\partial(F_z)}{\partial z} }

• Rotacional

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \nabla\times \vec F=\frac{1}{\rho}\left| \begin{matrix} \hat{\rho} & \rho\,\hat{\varphi} & \hat{z} \\ & & \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \varphi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ & & \\ F_\rho & \rho\,F_\varphi & F_z \end{matrix}\right| }

• Laplaciano

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \nabla^2\phi = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2} }

Referencias

Referencias e información de imágenes pulsando en ellas.