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Diferencia entre revisiones de «Cuádrica»
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Una '''cuádrica''' es una superficie determinada por una ecuación de segundo grado, es decir de la forma | Una '''cuádrica''' es una superficie determinada por una ecuación de segundo grado, es decir de la forma <math>P(x_1,x_2 ... x_n) = 0 \ </math> donde P es un Polinomio de segundo grado en las coordenadas <math>x_1, x_2 ... x_n \ </math>. | ||
Cuando no se precisa, es una superficie del espacio tridimensional real usual, en un sistema de coordenadas ortogonal y unitario, y las coordenadas se llaman ''x'', ''y'' y ''z''. Son los matemáticos griegos de la antigüedad que inauguraron el estudio de las cuádricas (sin emplear las ecuaciones) | Cuando no se precisa, es una superficie del espacio tridimensional real usual, en un sistema de coordenadas ortogonal y unitario, y las coordenadas se llaman ''x'', ''y'' y ''z''. Son los matemáticos griegos de la antigüedad que inauguraron el estudio de las cuádricas (sin emplear las ecuaciones) con el [[cono (matemáticas)|cono]] (una cuádrica) y sus secciones, que son las cuádricas en el plano bidimensional. | ||
La definición puramente algebraica de las cuádricas tiene el defecto de incluir casos sin interés geométrico y sin vínculo con el tema. Ejemplos: | La definición puramente algebraica de las cuádricas tiene el defecto de incluir casos sin interés geométrico y sin vínculo con el tema. Ejemplos: | ||
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* La ecuación <math>x+y-xz-yz=0 \ </math>, de segundo grado también, se factoriza en <math>(x+y)\cdot (1-z) =0 </math> y equivale a '''x + y = 0''' ó '''1 z = 0''' ; la superficie es la reunión de los planos '''y = - x ''' y ''' z = 1''' y recibe el nombre de '''cuádrica degenerada'''. | * La ecuación <math>x+y-xz-yz=0 \ </math>, de segundo grado también, se factoriza en <math>(x+y)\cdot (1-z) =0 </math> y equivale a '''x + y = 0''' ó '''1 z = 0''' ; la superficie es la reunión de los planos '''y = - x ''' y ''' z = 1''' y recibe el nombre de '''cuádrica degenerada'''. | ||
* Tampoco se suele aceptar ecuaciones como <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"> <math>x^2 + y^2 + z^2 = -1 \ </math></div> que corresponde al conjunto vacío, <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"> <math>(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 0 \ </math></div> que da un punto, (1; 2; 3), ni <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"> <math>(x-2)^2 + (y+z)^2 = 0 \ </math></div> que da una recta, definida por '''x = 2''' y '''z = - y'''; porque no tienen la dimensión esperada (dos) para ser una superficie. | * Tampoco se suele aceptar ecuaciones como <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"> <math>x^2 + y^2 + z^2 = -1 \ </math></div> que corresponde al conjunto vacío, <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"> <math>(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 0 \ </math></div> que da un punto, (1; 2; 3), ni <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"> <math>(x-2)^2 + (y+z)^2 = 0 \ </math></div> que da una recta, definida por '''x = 2''' y '''z = - y'''; porque no tienen la dimensión esperada (dos) para ser una superficie. | ||
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{| border=0 | {| border=0 | ||
| [[Elipsoide]] || → || elipsoide de revolución (esferoide) → esfera || [[Archivo:Elipsoide de revolución canto rodado.png|80px]]|| | | [[Elipsoide]] || → || elipsoide de revolución (esferoide) → esfera || [[Archivo:Elipsoide de revolución canto rodado.png|80px]]|| | ||
|- | |- | ||
| [[Hiperboloide]] || → <br> → || hiperboloide de una hoja<br>hiperboloide de dos hojas || [[Archivo:Hiperboloide_una_hoja.png|80px]] || [[Archivo:Hiperboloide_dos_hojas.png|80px]] | | [[Hiperboloide]] || → <br> → || hiperboloide de una hoja<br>hiperboloide de dos hojas || [[Archivo:Hiperboloide_una_hoja.png|80px]] || [[Archivo:Hiperboloide_dos_hojas.png|80px]] | ||
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<math> | <math> | ||
A = \begin{pmatrix} | A = \begin{pmatrix} | ||
a & d/2 & e/2 \\ | |||
d/2 & b & f/2 \\ | |||
e/2 & f/2 & c | |||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
</math> una matriz simétrica, <math> B = \begin{pmatrix} g & h & i \end{pmatrix} </math> un vector línea, y <math> X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} </math> un vector columna. | </math> una matriz simétrica, <math> B = \begin{pmatrix} g & h & i \end{pmatrix} </math> un vector línea, y <math> X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} </math> un vector columna. | ||
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\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + exz + fxz + gx + hy + iz</math> | \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + exz + fxz + gx + hy + iz</math> | ||
Por ser simétrica, la matriz A puede diagonalizarse, es decir que existe una base en la que A se escribe <math> D = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & 0 \\ 0 & \beta & 0 \\ 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} | Por ser simétrica, la matriz A puede diagonalizarse, es decir que existe una base en la que A se escribe <math> D = \begin{pmatrix} \alpha & 0 & 0 \\ 0 & \beta & 0 \\ 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} </math> | ||
Concretamente <div style="vertical-align:+25%;display:inline;"><math> A = {}^t RDR \ </math></div>, donde '''R''' es la matriz que realiza el cambio de base (es inversible, de inverso '''R<sup>−1</sup>''') <br> | Concretamente <div style="vertical-align:+25%;display:inline;"><math> A = {}^t RDR \ </math></div>, donde '''R''' es la matriz que realiza el cambio de base (es inversible, de inverso '''R<sup>−1</sup>''') <br> | ||
La ecuación matricial inicial <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>{}^t XAX + BX + j = 0 \ </math></div> se reescribe:<br> | La ecuación matricial inicial <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>{}^t XAX + BX + j = 0 \ </math></div> se reescribe:<br> | ||
| Línea 63: | Línea 63: | ||
Es decir: <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>{}^t(RX)D(RX) + BR^{-1}(RX) + j = 0 \ </math></div> | Es decir: <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>{}^t(RX)D(RX) + BR^{-1}(RX) + j = 0 \ </math></div> | ||
Sea <div style="vertical-align:+5%;display:inline;"><math>X' = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = RX</math></div> el vector posición en la nueva base, <math> E = \begin{pmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \end{pmatrix} = BR^{-1} </math> | Sea <div style="vertical-align:+5%;display:inline;"><math>X' = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = RX</math></div> el vector posición en la nueva base, <math> E = \begin{pmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \end{pmatrix} = BR^{-1} </math> el valor de B en la nueva base. | ||
La ecuación anterior se escribe: <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"> <math>{}^tX'DX' + EX' + j = 0 \ </math></div> es decir: | La ecuación anterior se escribe: <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"> <math>{}^tX'DX' + EX' + j = 0 \ </math></div> es decir: | ||
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*Si α, β y γ son todos no nulos, se puede hacer desaparecer los términos lineales (de primer grado) mediante la traslación <div style="vertical-align:-5%;display:inline;"> <math>x'' = x' + \frac {e_1} {2 \alpha} , \ y'' = y' + \frac {e_2} {2 \beta}, \ z'' = z' + \frac {e_3} {2 \gamma} </math></div> se obtiene finalmente: <div style="vertical-align:+20%;display:inline;"><math> \alpha {x''}^2 + \beta {y''}^2 + \gamma {z''}^2 = K \ </math></div> con K una constante (<div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math> K = \frac {{E_1}^2} {4\alpha} + \frac {{E_2}^2} {4\beta} + \frac {{E_3}^2} {4\gamma} - J </math></div>). | *Si α, β y γ son todos no nulos, se puede hacer desaparecer los términos lineales (de primer grado) mediante la traslación <div style="vertical-align:-5%;display:inline;"> <math>x'' = x' + \frac {e_1} {2 \alpha} , \ y'' = y' + \frac {e_2} {2 \beta}, \ z'' = z' + \frac {e_3} {2 \gamma} </math></div> se obtiene finalmente: <div style="vertical-align:+20%;display:inline;"><math> \alpha {x''}^2 + \beta {y''}^2 + \gamma {z''}^2 = K \ </math></div> con K una constante (<div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math> K = \frac {{E_1}^2} {4\alpha} + \frac {{E_2}^2} {4\beta} + \frac {{E_3}^2} {4\gamma} - J </math></div>). | ||
** Si α, β y γ son del mismo signo entonces la superficie es un '''elipsoide''' cuando K tiene el mismo signo también. (Si K es del signo opuesto o nulo, se obtiene los casos descartados del conjunto vacío y del punto respectivamente). | ** Si α, β y γ son del mismo signo entonces la superficie es un '''elipsoide''' cuando K tiene el mismo signo también. (Si K es del signo opuesto o nulo, se obtiene los casos descartados del conjunto vacío y del punto respectivamente). | ||
** Si α, β y γ no son del mismo signo entonces la superficie es un '''hiperboloide''' de una hoja si K tiene el signo minoritario, de dos hojas si K tiene el signo mayoritario, y es un cono cuando K es nulo. El '''cono''' corresponde por tanto al caso frontera entre los hiperboloides de una y de dos hojas. | ** Si α, β y γ no son del mismo signo entonces la superficie es un '''hiperboloide''' de una hoja si K tiene el signo minoritario, de dos hojas si K tiene el signo mayoritario, y es un cono cuando K es nulo. El '''cono''' corresponde por tanto al caso frontera entre los hiperboloides de una y de dos hojas. | ||
*Si exactamente una de las tres constantes α, β y γ es nula, pongamos γ = 0, entonces no se puede hacer desaparecer la variable correspondiente (''z'') pero sí las demás, y se obtiene: <div style="vertical-align:+20%;display:inline;"> <math> \alpha {x''}^2 + \beta {y''}^2 + e_3z'= L \ </math></div> con L una constante. | *Si exactamente una de las tres constantes α, β y γ es nula, pongamos γ = 0, entonces no se puede hacer desaparecer la variable correspondiente (''z'') pero sí las demás, y se obtiene: <div style="vertical-align:+20%;display:inline;"> <math> \alpha {x''}^2 + \beta {y''}^2 + e_3z'= L \ </math></div> con L una constante. | ||
**Si e<sub><sub>3</sub></sub> ≠ 0, por la traslación <div style="vertical-align:+10%;display:inline;"><math>z'' = z' - \frac L {e_3} </math></div> se obtiene: <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>\alpha {x''}^2 + \beta {y''}^2 + e_3z'' = 0 \ </math></div>, luego la superficie es un '''paraboloide''', elíptico cuando α y β son del mismo signo, hiperbólico cuando α y β tienen signos opuestos. | **Si e<sub><sub>3</sub></sub> ≠ 0, por la traslación <div style="vertical-align:+10%;display:inline;"><math>z'' = z' - \frac L {e_3} </math></div> se obtiene: <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>\alpha {x''}^2 + \beta {y''}^2 + e_3z'' = 0 \ </math></div>, luego la superficie es un '''paraboloide''', elíptico cuando α y β son del mismo signo, hiperbólico cuando α y β tienen signos opuestos. | ||
**Si e<sub><sub>3</sub></sub> = 0,<div style="vertical-align:+20%;display:inline;"> <math> \alpha {x''}^2 + \beta {y''}^2 = L \ </math></div> es la ecuación de un '''cilindro''', elíptico cuando α y β son del mismo signo, hiperbólico cuando α y β tienen signos opuestos. L = 0 corresponde a casos descartados (un punto cuando α·β > 0, una unión de planos secantes cuando α·β < 0). | **Si e<sub><sub>3</sub></sub> = 0,<div style="vertical-align:+20%;display:inline;"> <math> \alpha {x''}^2 + \beta {y''}^2 = L \ </math></div> es la ecuación de un '''cilindro''', elíptico cuando α y β son del mismo signo, hiperbólico cuando α y β tienen signos opuestos. L = 0 corresponde a casos descartados (un punto cuando α·β > 0, una unión de planos secantes cuando α·β < 0). | ||
*Si exactamente dos de las tres constantes α, β y γ son nulas, digamos β = γ = 0, entonces hacemos desaparecer '''''x'''''' con una traslación, luego <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math> \alpha {x''}^2 + e_2y' + e_3z'= N \ </math></div> con N una constante. Si e<sub><sub>2</sub></sub> y e<sub><sub>3</sub></sub> no son simultáneamente nulos, mediante una rotación en el plano (x", y") se obtiene la ecuación | *Si exactamente dos de las tres constantes α, β y γ son nulas, digamos β = γ = 0, entonces hacemos desaparecer '''''x'''''' con una traslación, luego <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math> \alpha {x''}^2 + e_2y' + e_3z'= N \ </math></div> con N una constante. Si e<sub><sub>2</sub></sub> y e<sub><sub>3</sub></sub> no son simultáneamente nulos, mediante una rotación en el plano (x", y") se obtiene la ecuación <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math> \alpha {x''}^2 + e_4y'' = N \ </math></div> luego <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math> \alpha {x''}^2 + e_4y''' = 0 \ </math></div> gracias a una traslación, y la superficie es un '''cilindro parabólico''' (puesto que e<sub><sub>4</sub></sub> ≠ 0). El caso e<sub><sub>2</sub></sub> = e<sub><sub>3</sub></sub> = 0 corresponde a casos descartados (conjunto vacío cuando α·N < 0, unión de dos planos paralelos cuando α·N > 0, un sólo plano cuando N = 0). | ||
En un sistema de coordenadas adecuado (ortogonal pero no normado a priori), las ecuaciones más sencillas de las cuádricas son esas: | En un sistema de coordenadas adecuado (ortogonal pero no normado a priori), las ecuaciones más sencillas de las cuádricas son esas: | ||
| Línea 89: | Línea 89: | ||
| Elipsoide || x² + y² + z² = 1 | | Elipsoide || x² + y² + z² = 1 | ||
|- | |- | ||
| Hiperboloide || de una hoja: x² + y² = z² - 1<br><u>de dos hojas: x² + y² = z² + 1</u><br>Cono: x² + y² = z² | | Hiperboloide || de una hoja: x² + y² = z² - 1<br><u>de dos hojas: x² + y² = z² + 1</u><br>Cono: x² + y² = z² | ||
|- | |- | ||
| Paraboloide || elíptico: x² + y² = z<br>hiperbólico: x² - y² = z | | Paraboloide || elíptico: x² + y² = z<br>hiperbólico: x² - y² = z | ||
|- | |- | ||
|Cilindro || elíptico: x² + y² = 1<br>hiperbólico: x² - y² = 1<br>parabólico: x² = y | |Cilindro || elíptico: x² + y² = 1<br>hiperbólico: x² - y² = 1<br>parabólico: x² = y | ||
|} | |} | ||
==Generalización== | ==Generalización== | ||
Se generaliza la noción de cuádrica en tres dominios distintos: | Se generaliza la noción de cuádrica en tres dominios distintos: en el espacio proyectivo, en el espacio complejo, y en dimensiones superiores. | ||
Una ecuación de tres variables define una superficie en el espacio complejo de dimensión 3: ℂ<sup>3</sup>. Tal superficie es localmente isomorfa a ℂ², por tanto a ℝ<sup>4</sup>, y la mente humana tiene muchos problemas en visualizar una superficie | Una ecuación de tres variables define una superficie en el espacio complejo de dimensión 3: ℂ<sup>3</sup>. Tal superficie es localmente isomorfa a ℂ², por tanto a ℝ<sup>4</sup>, y la mente humana tiene muchos problemas en visualizar una superficie de dimensión real 4 en un espacio de dimensión real 6 (como ℂ<sup>3</sup>). | ||
Para entender las cuádricas complejas, se puede estudiar sus secciones por espacios tridimensionales reales. | Para entender las cuádricas complejas, se puede estudiar sus secciones por espacios tridimensionales reales. | ||
El método para clasificar las cuádricas complejas es básicamente el mismo que para las reales; la única diferencia es que los signos de los coeficientes carecen de importancia porque la propriedad i² = -1 permite modificarlos mediante cambios de sistema de coordenadas. Por ejemplo el elipsoide | El método para clasificar las cuádricas complejas es básicamente el mismo que para las reales; la única diferencia es que los signos de los coeficientes carecen de importancia porque la propriedad i² = -1 permite modificarlos mediante cambios de sistema de coordenadas. Por ejemplo el elipsoide x² + y² + z² = 1 da, con el cambio ''z' = i·z'' (que corresponde a una rotación de ℂ<sup>3</sup>): x² + y² - z'² = 1 lo que corresponde a un hiperboloide. | ||
La clasificación es por tanto la siguiente: | La clasificación es por tanto la siguiente: | ||
| Línea 111: | Línea 111: | ||
| Elipsoide - Hiperboloide || x² + y² + z² = 1 | | Elipsoide - Hiperboloide || x² + y² + z² = 1 | ||
|- | |- | ||
| Cono || x² + y² = z² | | Cono || x² + y² = z² | ||
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| Paraboloide || x² + y² = z | | Paraboloide || x² + y² = z | ||
|- | |- | ||
|Cilindro || elíptico o hiperbólico: x² + y² = 1<br>parabólico: x² = y | |Cilindro || elíptico o hiperbólico: x² + y² = 1<br>parabólico: x² = y | ||
|} | |} | ||
{{EL}} | {{EL}} | ||
{{Geometría}} | {{Geometría}} | ||