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Teoría de placas y láminas

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En ingeniería estructural, las placas y las láminas son elementos estructurales que geométriamente se pueden aproximar por una superficie bidimensional y que trabajan predominantemente a flexión. Estructuralmente la diferencia entre placas y láminas está en la curvatura. Las placas son elementos cuya superficie media es plana, mientras que las láminas son superficies curvadas en el espacio tridimensional (como lás cúpulas, las conchas o las paredes de depósitos).

Constructivamente son sólidos deformables en los que existe una superficie media (que es la que se considera aproxima a la placa o lámina), a la que se añade un cierto espesor constante por encima y por debajo del plano medio. El hecho de que este espesor es pequeño comparado con las dimensiones de la lámina y a su vez pequeña comparada con los radios de curvatura de la superficie, es lo que permite reducir el cálculo de placas y láminas reales a elementos idealizados bidimensionales.

Contenido

Cálculo de placas

Hipótesis de Reissner-Mindlin

Deformación transversal de una placa en la hipótesis de Reissner-Mindlin donde θi y dw/dxi no tienen necesariamente que coincidir.

Las hipótesis de Reissner-Mindlin son un conjunto de hipótesis cinemáticas sobre como se deforma una placa o lámina bajo flexión que permiten relacionar los desplazamientos con las deformaciones. Una vez obtenidas las deformaciones la aplicación rutinaria de las ecuaciones de la elasticidad permite encontrar las tensiones, y encontrar la ecuación de gobierno que relaciona desplazamientos con las fuerzas exteriores.

Las hipótesis de Reissner-Mindlin para el cálculo elástico de placas y láminas son:

  1. El material de la placa es elástico lineal.
  2. El desplazamiento vertical para los puntos del plano medio no depende de z: uz(x, y, z) = w(x, y).
  3. Los puntos del plano medio sólo sufren desplazamiento vertical: ux(x, y,0) = 0, uy(x, y,0) = 0.
  4. La tensión perpendicular al plano medio se anula: σzz= 0.

Como consecuencia los desplazamientos horizontales sólo se dan fuera del plano medio y sólo se producen por giro del segmento perpendicular al plano medio. Como consecuencia de las hipótesis de Reissner-Mindlin los desplazamientos pueden escribirse como:</br> </br>

 \begin{cases}
    u_x(x,y,z) = -z\theta_x(x,y) \\
    u_y(x,y,z) = -z\theta_y(x,y) \\
    u_z(x,y,z) = w(x,y) 
\end{cases}

</br>

Hipótesis de Love-Kirchhoff

En las placas en que se desprecia la deformación por cortante, puede suponerse adecuadamente una hipótesis adicional conocida como hipótesis de Love-Kirchhoff. Esta hipótesis dice que:

5.
\theta_x(x,y) = \frac{\partial w}{\partial x} \qquad
\theta_y(x,y) = \frac{\partial w}{\partial y}

</br> Esta hipótesis es análoga a la hipótesis de Navier-Bernoulli para vigas. De hecho existe un paralelo entre los modelos de vigas y de placas. El modelo de placa de Reissner-Mindlin es el el equivalente de la viga de Timoshenko, mientras que el modelo de placa de Love-Kirchhoff es el equivalente de la viga de Euler-Bernoulli.

Las hipótesis de Reissner-Mindlin combinada con la hipótesis de Love-Kirchhoff proporcionan una hipótesis cinemática para los desplazamientos. A partir de esos desplazamientos pueden calcularse fácilmente las deformaciones para una placa delgada:</br> </br>


\varepsilon_{xx} = \frac{\partial u_x}{\partial x} = -z\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} \qquad
\varepsilon_{yy} = \frac{\partial u_y}{\partial y} = -z\frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \qquad
\varepsilon_{xy} = \frac{1}{2}\left ( \frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x} \right ) = -z\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y}

</br> En función de esas deformaciones las tensiones se calculan trivialmente a partir de las ecuaciones de Lamé-Hooke que generalizan la ley de Hooke para sólidos deformables:

Ecuación de Lagrange para placas delgadas

Para una placa plana de espesor constante en la que sean válidas las hipótesis de Reissner-Mindlin y Love-Kircchoff el descenso vertical en cada punto bajo la acción de las cargas apoyadas sobre ella viene dada por:

(1) \Delta \Delta w(x,y) = \frac{q(x,y)}{D}

Donde w(x, y) es la flecha vertical o descenso vertical de la placa en el punto de coordenadas (x, y), q(x, y) es la carga por unidad de área en el mismo punto, el operador laplaciano se define por la siguiente suma de operadores:

\Delta = \frac {\partial^2}{\partial x^2} +
\frac {\partial^2}{\partial y^2} + \frac {\partial^2}{\partial z^2}</br>

Y finalmente la constante D es la rigidez flexional de placas y viene dada en función del espesor de la placa (h), el módulo de Young (E), el coeficiente de Poisson (ν):

D = \frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}

Es interesante notar que la ecuación (1) es el análogo de la ecuación de la elástica para vigas. Para placas de espesor no constante, análogamente al caso de la ecuación de la elástica para vigas, la flecha y la carga aplicada están relacionadas por la ecuación:

(2) \Delta \left (D \Delta w(x,y) \right ) = q(x,y)

Donde ahora la rigidez flexional D es función una D(x, y) que depende del punto concreto de placa.

Cálculo de tensiones en placas delgadas

En una lámina sometida fundamentalmente a flexión en la que se desprecia la deformación por cortante, o lámina de Love-Kirchhof, los esfuerzos internos se carazterizan por dos momentos flectores m_x, m_y\; según dos direcciones mútualmente perpendiculares y un esfuerzo torsor m_{xy}. Estos esfuerzos están directamente relacionados con la flecha vertical w(x, y) en cada punto por:

\begin{cases} 
m_x = -D\left[\cfrac{\part^2 w}{\part x^2}+ \nu \cfrac{\part^2 w}{\part y^2}\right] & 
m_{xy} = -D(1-\nu) \left[\cfrac{\part^2 w}{\part y\part x}\right]\\
m_y = -D\left[\nu \cfrac{\part^2 w}{\part x^2}+ \cfrac{\part^2 w}{\part y^2}\right] \end{cases}

Donde:

\nu\,, es el coeficiente de Poisson del material de la placa.
D = Eh^3/12(1-\nu)\;, es la rigidez en flexión de la placa, siendo:
E\; el módulo de Young del material de la placa, y h el espesor de la placa.

Las tensiones sobre una placa son directamente calculabes a partir de los esfuerzos anteriores:

\begin{cases} 
\sigma_{xx} = \cfrac{12z}{h^3}m_y(x,y) & \sigma_{xy} = \cfrac{12z}{h^3}(1-\nu)^2m_{xy}(x,y)\\
\sigma_{yy} = \cfrac{12z}{h^3}m_x(x,y) & \sigma_{xz} = \sigma_{yz} = \sigma_{zz} = 0 \end{cases}

Cálculo de láminas

Una lámina es un elemento estructural bidimensional curvado. Si las placas se tratan análogamente a las vigas rectas, las láminas son el análogo bidimensional de los arcos.

Referencias

Ecuación de Placas en eFundagl:Laxe (construción)

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